MATEMANIJA

Evo jos jednog zadatka gde ne mogu da pronadjem gresku:

Trazi se zbir najmanjeg pozitivnog i najmanjeg negativnog resenja jednacine:
[dispmath]\sin 5x-\sin x+3\cos x=0[/dispmath]
Evo mog pokusaja, bilo bi lepo kada bi mi neko ukazao na gresku u mom postupku:
[dispmath]2\cos\frac{5x+x}{2}\sin\frac{5x-x}{2}+3\cos 3x=0[/dispmath][dispmath]2\cos 3x\sin 2x+3\cos 3x=0[/dispmath][dispmath]\cos 3x\left(2\sin 2x+3\right)=0[/dispmath][dispmath]\cos 3x=0\qquad\xcancel{\sin 2x=-\frac{3}{2}}[/dispmath][dispmath]\begin{array}{l}
3x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\[1em]
x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\\[1em]
x=\frac{\pi+2k\pi}{6}
\end{array}\hspace{8em}\begin{array}{ll}
k=-1: & x=\frac{\pi-2\pi}{6}=\enclose{box}{-\frac{\pi}{6}}\\
k=-2: & x=\frac{\pi-4\pi}{6}=-\frac{3\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}\\
k=0: & x=\frac{\pi}{6}\\
k=1: & x=\frac{3\pi}{6}\quad\enclose{box}{x=\frac{\pi}{2}}
\end{array}[/dispmath][dispmath]\left(-\frac{\pi}{6}\right)^2+\left(\frac{\pi}{2}\right)^2=\frac{\pi^2}{36}+\frac{\pi^2}{4}=\frac{10\pi^2}{36}=\frac{5\pi^2}{18}[/dispmath]

Uvideo sam gresku, najmanje pozitivno resenje mi je [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] a ne [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]
Moze delete teme, moze i da ostane ako nekom zareba (Odluku prepustam administratorima)

Slican zadatak trazi se zbir svih resenja jednacine:
[dispmath]\cos 2x+\sin^2x=\frac{3}{4}[/dispmath]
ja dobijem [inlmath]2\pi[/inlmath] medjutim u resenju stoji [inlmath]4\pi[/inlmath],kratak je zadacic nadam se da ce neko moci da mi pomogne.

Da se ne trazi zbir svih resenja jednacine na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath]?
[dispmath]\cos 2x+\sin^2x=\frac{3}{4}[/dispmath]
[dispmath]\cos^2x-\sin^2x+\sin^2x=\frac{3}{4}[/dispmath]
[dispmath]\cos^2x=\frac{3}{4}[/dispmath]
[dispmath]\cos x=\pm\frac{\sqrt 3}{2}[/dispmath]
[dispmath]x_1=\frac{\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]x_2=\frac{5\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]x_3=\frac{7\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]x_4=\frac{11\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]x_1+x_2+x_3+x_4=4\pi[/dispmath]
Ako je resenje [inlmath]4\pi[/inlmath] onda mislim da bi trebalo da postoji uslov [inlmath][0,2\pi][/inlmath]

Jeste to sam zaboravio da stavim, a izbrisao sam sliku na kojoj je bio ceo zadatak.

Moja greska je sto sam za [inlmath]x_4[/inlmath], pisao resenje kao [inlmath]\frac{0-\pi}{6}[/inlmath] a ne kao ti [inlmath]2\pi-\frac{\pi}{6}[/inlmath]
Mozes li mi objasniti zbog cega se resenja razlikuju kada je [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2\pi[/inlmath] isto?

Kada oduzmes od nule [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] dobijes [inlmath]-\frac{\pi}{6}[/inlmath], a [inlmath]x_1[/inlmath] nam je [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] i kad sabiras resenja ti ces [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_4[/inlmath] da skratis i dobijas [inlmath]2\pi[/inlmath]

Dobili smo da je [inlmath]\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath]

Tako da je
[dispmath]x_1=\frac{\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]x_2=\frac{5\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]x_3=\frac{7\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]x_4=\frac{11\pi}{6}[/dispmath]
Nemoj da gledas to sto su [inlmath]\cos 0[/inlmath] i [inlmath]\cos 2\pi[/inlmath] isti - ako tako gledamo onda su i [inlmath]\cos 30^\circ[/inlmath] i [inlmath]\cos 330^\circ[/inlmath] isti, kao i [inlmath]\cos 150^\circ[/inlmath] i [inlmath]\cos 210^\circ[/inlmath]

Znaci mi ovde ne sabiramo kosinuse tih uglova vec same uglove tj.
[dispmath]\frac{\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]\frac{5\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]\frac{7\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]\frac{11\pi}{6}[/dispmath]
ako bi sabirali kosinuse onda nista ne bi dobili:
[dispmath]\frac{\sqrt 3}{2}+\left(-\frac{\sqrt 3}{2}\right)+\left(-\frac{\sqrt 3}{2}\right)+\frac{\sqrt 3}{2}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sqrt 3}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}=0[/dispmath]
Jel ok sad?

Sad je ok, hvala puno.

maxaa je napisao:Uvideo sam gresku, najmanje pozitivno resenje mi je [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] a ne [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]
Moze delete teme, moze i da ostane ako nekom zareba (Odluku prepustam administratorima)

Ništa ne smeta, nek stoji, upravo što ti kažeš, može nekom da zatreba.

Nego, nešto me tu žulja oko teksta zadatka.
Da li zadatak zaista glasi „Traži se zbir najmanjeg pozitivnog i najmanjeg negativnog rešenja jednačine“
Ako tako piše, onda bi mogao s punim pravom da kažeš da je zbir jednak [inlmath]-\infty[/inlmath] i ne bi imali pravo da ti taj odgovor ne priznaju. Zbog periodičnosti, i pozitivnih i negativnih rešenja ima beskonačno mnogo, a najmanje negativno rešenje bi bilo [inlmath]-\infty[/inlmath], pa kad se sabere s najmanjim pozitivnim rešenjem, a to je [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath], zbir je opet [inlmath]-\infty[/inlmath].
Ako se misli na negativno rešenje koje je najbliže nuli, onda se mora reći ili najveće negativno rešenje, ili po apsolutnoj vrednosti najmanje negativno rešenje.

I nije mi još jasno zbog čega si u svom postupku, na samom kraju, sabirao kvadrate rešenja, da li možda u originalnom tekstu piše da se traži zbir kvadrata tih rešenja?

A što se tiče ovog poslednjeg zadatka, upravo ovo što ti je forza napisao – nemoj mešati same uglove i kosinuse uglova. Znači, [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2\pi[/inlmath] nije isto: [inlmath]0[/inlmath] je [inlmath]0[/inlmath], a [inlmath]2\pi[/inlmath] je [inlmath]2\pi[/inlmath].
[inlmath]\cos 0[/inlmath] jeste isto što i [inlmath]\cos 2\pi[/inlmath], ali to je već druga stvar...
U zadatku je dato da ugao pripada intervalu između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2\pi[/inlmath], prema tome, rešenje koje te buni (koje si mogao napisati i kao [inlmath]-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] i kao [inlmath]\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] – svejedno je potpuno(, ne sme se svesti na rešenje [inlmath]-\frac{\pi}{6}[/inlmath], jer ono ne bi pripadalo zadatom intervalu, već bi se smelo svesti samo na rešenje [inlmath]\frac{11\pi}{6}[/inlmath], jer ono jeste između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2\pi[/inlmath].

Da li zadatak zaista glasi „Traži se zbir najmanjeg pozitivnog i najmanjeg negativnog rešenja jednačine“

Moja greska, u tekstu zadatka se trazi zbir najmanjeg pozitivnog i najveceg negativnog.

I nije mi još jasno zbog čega si u svom postupku, na samom kraju, sabirao kvadrate rešenja, da li možda u originalnom tekstu piše da se traži zbir kvadrata tih rešenja?

Upravo tako, u zadatku se trazi zbir kvadrata tih resenja. Ne zamerite, bilo je sve na slikama ali sam ih obrisao nesto kasnije zeleci da zadatak prestavim preko latex programa, pa je tako i doslo do tih propusta i gresaka.

Meni treba pomoć oko ovog zadatka:

Zbir najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog rešenja jednačine:
[dispmath]\sin 2x+\sin^4\left(\frac{x}{2}\right)=\cos^4\left(\frac{x}{2}\right)[/dispmath]
Rešenje je [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath]

Rešavanjem ove jednačine dolazim do [inlmath]\sin x=\frac{1}{2}[/inlmath] ali nzm sta dalje i da li je to dobro uopste ..
Hvala unapred

Pozdrav
Prebacio sam ti formule u Latex, sad lepše izgledaju. Ovde imaš uputstvo kako ih možeš pisati, radi budućih postova.

[inlmath]\sin x=\frac{1}{2}[/inlmath] jeste jedno od rešenja ove jednačine, ali nije jedino. Primenimo formule za sinus i kosinus polovine ugla (to je jedan od načina, pokazaću posle i drugi):
[dispmath]\sin 2x+\left(\frac{1-\cos x}{2}\right)^2=\left(\frac{1+\cos x}{2}\right)^2\quad /\cdot 4[/dispmath][dispmath]4\sin 2x+\cancel 1-2\cos x+\cancel{\cos^2x}=\cancel 1+2\cos x+\cancel{\cos^2x}[/dispmath][dispmath]\cancel 4\sin 2x=\cancel 4\cos x[/dispmath][dispmath]2\sin x\cos x=\cos x[/dispmath]
E u ovom koraku si verovatno skratila [inlmath]\cos x[/inlmath] na levoj i na desnoj strani. Ali, ne smeš ga tek tako skraćivati, jer [inlmath]\cos x[/inlmath] može biti nula, i onda takvim skraćivanjem gubiš jedno od mogućih rešenja jednačine. Umesto toga, treba prebaciti kosinus s desne na levu stranu, tako da nam na desnoj strani ostane samo nula:
[dispmath]2\sin x\cos x-\cos x=0[/dispmath][dispmath]\cos x\left(2\sin x-1\right)[/dispmath][dispmath]\cos x=0\quad\lor\quad\sin x=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\lor\quad x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\lor\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/dispmath]
Najjednostavniji način da utvrdimo koja će od ovih vrednosti biti najmanja pozitivna, a koja najveća negativna, biće da ih ucrtamo na trigonometrijsku kružnicu i da uočimo one dve vrednosti uglova koje najmanje odstupaju od [inlmath]x=0[/inlmath] u pozitivnom i u negativnom smeru.. Na taj način dobijamo da je najmanja pozitivna vrednost [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath], a najveća negativna je [inlmath]-\frac{\pi}{2}[/inlmath]. Njihov zbir se poklapa s onim što ti piše u rešenju.

---

Drugi način, umesto primene formula za sinus i kosinus polovine ugla, jeste da četvrte stepene grupišemo na desnoj strani:
[dispmath]\sin 2x=\cos^4\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^4\left(\frac{x}{2}\right)[/dispmath]
Primenimo formulu za razliku kvadrata:
[dispmath]\sin 2x=\underbrace{\left[\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\right]}_{\cos x}\cdot\underbrace{\left[\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)+\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\right]}_1[/dispmath][dispmath]\sin 2x=\cos x[/dispmath]
i dalje se svodi na isti postupak koji sam već pokazao...

Imam ja jedan sa zbirom rešenja, al' ako ipak ne odgovara ovoj temi, zamolio bih nadležne da ga premeste.

---

Zadatak 5:
Zbir svih rešenja na intervalu [inlmath]\left[-2\pi,2\pi\right][/inlmath].
[dispmath]\sqrt{2}\left(\cos^3x-\sin^3x\right)\left(1+2\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)=(2+\sin 2x)^2[/dispmath]

---

Pošto je izraz masivan, sređivao sam deo po deo:
[dispmath]\cos^3x-\sin^3x=\left(\cos x-\sin x\right)\left(\cos^2x+\cos x\sin x+\sin^2x\right)=\\
=\underline{\left(\cos x-\sin x\right)\left(1+\cos x\sin x\right)}\\[1em]
1+2\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1+2\left(\cos x\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin x\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)^2=\\
=1+\cancel{2}\cdot\frac{\cancel{2}}{\cancelto{\cancel{2}}{4}}\left(\cos x+\sin x\right)^2=1+\cos^2x+2\cos x\sin x+\sin^2x=\underline{2(1+\cos x\sin x)}\\[1em]
(2+\sin 2x)^2=(2+2\sin x\cos x)^2=\underline{4(1+\cos x\sin x)^2}\\[3em]
\sqrt 2\left(\cos x-\sin x\right)\left(1+\cos x\sin x\right)\cdot 2(1+\cos x\sin x)=4(1+\cos x\sin x)^2\\
\cancelto{1}{2}\sqrt 2(\cos x-\sin x)(1+\cos x\sin x)^2-\cancelto{2}{4}(1+\cos x\sin x)^2=0\\
(1+\cos x\sin x)^2\left(\sqrt 2(\cos x-\sin x)-2\right)=0\\[2em]
1+\cos x\sin x=0\phantom{333}\lor\phantom{333}\sqrt 2(\cos x-\sin x)-2=0\\
\xcancel{\cos x\sin x=-1}\phantom{333}\lor\phantom{333}\cos x-\sin x=\frac{\sqrt 2}{2}/\cdot\frac{1}{\sqrt2}\\
\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\frac{1}{2}\\
\frac{\pi}{4}+x_1=\frac{\pi}{3}+2k\pi\phantom{333}\land\phantom{333}\frac{\pi}{4}+x_2=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\\
x_1=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}+2k\pi\phantom{333}\land\phantom{333}x_2=-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}+2k\pi\\
x_1=\frac{\pi}{12}+2k\pi\phantom{333}\land\phantom{333}x_2=-\frac{7\pi}{12}+2k\pi[/dispmath]
Je l' sam pogrešio negde? Ako nisam, je l' se sad uzima da je [inlmath]k=\{-1,0\}[/inlmath]? Deluje mi da ako idem ispod [inlmath]-1[/inlmath] ili iznad [inlmath]0[/inlmath], da mi rešenja automatski ispadaju iz intervala.
[dispmath]\begin{array}{|c|c|c|}\hline\\
k & -1 & 0\\[1em]\hline
\frac{\pi}{12}+2k\pi & \frac{-23\pi}{12} & \frac{\pi}{12}\\[1em]\hline
\frac{-7\pi}{12}+2k\pi & \frac{-31\pi}{12} & \frac{-7\pi}{12}\\
& \\ \hline
\end{array}[/dispmath]
Zbir je na kraju [inlmath]-5\pi[/inlmath], što ne odgovara ponuđenim odgovorima, tako da sam verovatno pogrešio.


Matematika za prijemni ispit na tehničkim i prirodno matematičkim fakultetima (Jovanov, Lazović, Đorić).

Da, napravio si grešku u koraku
[dispmath]\sqrt 2\left(\cos x-\sin x\right)-2=0\\
\cos x-\sin x={\color{red}\frac{\sqrt 2}{2}}[/dispmath]
Treba [inlmath]\sqrt 2[/inlmath], a ne [inlmath]\frac{\sqrt 2}{2}[/inlmath].

---

A inače (iako ti ovo neće biti potrebno za ovaj zadatak posle gornje ispravke, čisto da napomenem), iz
[dispmath]x_1=\frac{\pi}{12}+2k\pi\quad\land\quad x_2=-\frac{7\pi}{12}+2k\pi[/dispmath]
dobila bi se ovakva tabela:
[dispmath]\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
& k=-1 & k=0 & k=1\\ \hline
\frac{\pi}{12}+2k\pi & -\frac{23\pi}{12} & \frac{\pi}{12} \\ \hline
-\frac{7\pi}{12}+2k\pi & & -\frac{7\pi}{12} & \frac{17\pi}{12} \\ \hline
\end{array}[/dispmath]
u kojoj se prazne ćelije odnose na one vrednosti koje ne pripadaju intervalu [inlmath]\left[-2\pi,2\pi\right][/inlmath].
To jest, za [inlmath]\frac{\pi}{12}+2k\pi[/inlmath] se uzima [inlmath]k=-1[/inlmath] i [inlmath]k=0[/inlmath], dok se za [inlmath]-\frac{7\pi}{12}+2k\pi[/inlmath] uzima [inlmath]k=0[/inlmath] i [inlmath]k=1[/inlmath].
Za sve ostale vrednosti [inlmath]k[/inlmath] izašlo bi se iz opsega [inlmath]\left[-2\pi,2\pi\right][/inlmath].

U tabeli koju si ti dobio, lako možeš videti da vrednost [inlmath]-\frac{31\pi}{12}[/inlmath] ne pripada intervalu [inlmath]\left[-2\pi,2\pi\right][/inlmath].

---

Kao rešenja ovog zadatka treba da se dobiju [inlmath]-\frac{\pi}{4}[/inlmath] i [inlmath]\frac{7\pi}{4}[/inlmath], što kao zbir daje [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath], a ne [inlmath]-5\pi[/inlmath].

Hvala na odgovoru, Daniele. Evo da dovršim zadatak:
[dispmath]\cos x-\sin x=\sqrt 2\phantom{33}\left/\cdot\frac{\sqrt 2}{2}\right.\\
\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\\
x+\frac{\pi}{4}=2k\pi\\
x=2k\pi-\frac{\pi}{4}[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{|c|c|c|}\hline
k & 0 & 1 \\ \hline
2k\pi-\frac{\pi}{4} & -\frac{\pi}{4} & \frac{7\pi}{4}\\ \hline
\end{array}\;\Longrightarrow\;-\frac{\pi}{4}+\frac{7\pi}{4}=\frac{\cancelto{3}{6}\pi}{\cancelto{2}{4}}=\enclose{box}{\frac{3\pi}{2}}[/dispmath]