MATEMANIJA

Pozdrav!
Zadatak glasi:
Skup rešenja nejednačine [inlmath]\displaystyle\frac{1}{\cos(x)}<\frac{1}{\sin(x)}[/inlmath] na intervalu [inlmath](0,2\pi)[/inlmath].

Znam da treba da se postave uslovi za da je [inlmath]\cos(x)>0\;\land\;\sin(x)>0[/inlmath], ali ne znam šta dalje sa tim uslovima.

Rešenje: [inlmath]\displaystyle\left(0,\:\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\:\pi\right)\cup\left(\frac{5\pi}{4},\:\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath]

Bilo kakva pomoć je dobrodošla, hvala unapred!

Ne vidim nijedan razlog zašto bi ni [inlmath]\sin x[/inlmath], a ni [inlmath]\cos x[/inlmath] bili veći od [inlmath]0[/inlmath] sem ako to direktno zadatkom nije predodređeno, što nisi naglasio ovde.
Umesto toga, imaćeš uslove [inlmath]\sin x,\cos x\neq0[/inlmath], odakle imaš uslov da je
[dispmath]x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,\;x\neq0+k\pi[/dispmath] i ovo dalje možeš da rešiš kao najobičniju nejednačinu, [inlmath]\frac{1}{\sin x}[/inlmath] prebaciš sa druge strane i dobiješ [dispmath]\frac{\sin x-\cos x}{\sin x\cos x}<0[/dispmath] Nisam kod kuće da baš odradim ceo zadatak i da potvrdim da ćeš ovime da dođeš do rešenja, ali možeš da pokušaš pa javi ako se zaglaviš da rešimo do kraja.

Zaista ne znam zašto sam umislio da treba da se za ovo u imeniocu postavi uslov da je veće od [inlmath]0[/inlmath].

Pokušavam sada da uradim, ali ne uspevam. Zaista bih ti bio zahvalan ako bi mogao da mi uradiš. Hvala!

Imam pitanje za jednu trigonometrijsku jednačinu, pa ako nije problem da je postavim ovde, da ne bih otvarao novu temu.

Broj realnih rešenja jednačine: [inlmath]\sin x=1-x^2[/inlmath]
Rešenje: [inlmath]2[/inlmath]

Ne znam kako ni da počnem, nemam ideju zaista.

Moraš da mi oprostiš i da sačekaš malo što se tiče ove nejednačine, to sam ti samo na brzinu malopre dao smernice, a zadatak ću da pokušam kasnije da rešim kada budem imao vremena, ako me neko ne preduhitri naravno.

1 9 9 9 je napisao:Broj realnih rešenja jednačine: [inlmath]\sin x=1-x^2[/inlmath]
Rešenje: [inlmath]2[/inlmath]

Što se ovoga tiče, ja bih ovo radio grafički; odvojio bih na dve funkcije [inlmath]y=\sin x[/inlmath] i [inlmath]y=1-x^2[/inlmath]. Kada nacrtaš oba grafika poprilično je jasno da se seku u samo [inlmath]2[/inlmath] tačke, što je i tvoje traženo rešenje.

@1 9 9 9 Ovu jednačinu si slobodno mogao postaviti u novu temu, a tako je i predviđeno Pravilnikom.

Nejednačinu si mogao zapisati kao [inlmath]\cos x>\sin x[/inlmath], što je lako rešiti grafički.

P. S. Za funkcije kao što su sinus i kosinus u LaTex-u treba pisati \sin x, a ne sin x (mala ispravka).

@Corba248 Da, evo sad sam konačno uhvatio vreme da odradim, i ja sam isto došao do [inlmath]\tan x<1[/inlmath], ali zar onda u tom slučaju ovo rešenje koje je on dao nije netačno? Možda i ja grešim, ali ja dobijam drugačije rešenje za ovu nejednačinu.

U pravu si moj odgovor je bio štur. Trebalo bi voditi računa o znaku sinusa i kosinusa, a pre svega postaviti uslove definisanosti razlomaka u početnoj nejednakosti. Jasno je da su svi uglovi drugog kvadranta rešenja i da svi iz četvrtog nisu (izuzev onih koji ih ograničavaju). Nejednačina se zaista svodi na [inlmath]\cos x>\sin x[/inlmath] ako govorimo o prvom i trećem kvadrantu jer smo mi zapravo nejednakost pomnožili sa [inlmath]\sin x\cos x[/inlmath]. Mi smo logički utvrdili da su uglovi drugog kvadranta rešenja, a da oni iz četvrtog nisu (posmatrajući znak kosinusa, odnosno sinusa u polaznoj nejednačini), a formalno bismo isto to i dobili, ali bismo zbog toga što je proizvod [inlmath]\sin x\cos x[/inlmath] negativan morali da obrnemo znak nejednakosti i dobili bismo [inlmath]\cos x<\sin x[/inlmath] za drugi i četvrti kvadrant, što je očigledno zadovoljeno samo u drugom.

1 9 9 9 je napisao:Rešenje: [inlmath]\displaystyle\left(0,\:\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\:\pi\right)\cup\left(\frac{5\pi}{4},\:\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath]

Želeo bih samo, ako ti nije problem da razjasnimo ovaj deo konkretno [inlmath]\left(\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath]. Zar u trećem kvadratnu rešenje neće biti [inlmath]\left(\pi,\frac{5\pi}{4}\right)[/inlmath]? Mislim možda i ja grešim, a verovatno je, zato me i zanima.

Dakle, u trećem kvadrantu naša nejednakost se svodi na [inlmath]\cos x>\sin x[/inlmath]. Rešenje ove nejednačine u trećem kvadrantu je [inlmath]\left(\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath].

Tinker je napisao:Želeo bih samo, ako ti nije problem da razjasnimo ovaj deo konkretno [inlmath]\left(\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath]. Zar u trećem kvadratnu rešenje neće biti [inlmath]\left(\pi,\frac{5\pi}{4}\right)[/inlmath]? Mislim možda i ja grešim, a verovatno je, zato me i zanima.

Tako piše u rešenju i ponuđenim odgovorima. Inače ovaj zadatak je sa Građevinskog F iz 2012. godine.

Tinker je napisao:i dobiješ [dispmath]\frac{\sin x-\cos x}{\sin x\cos x}<0[/dispmath]

Znači, razmatraju se dva slučaja – prvi slučaj [inlmath]\sin x\cos x>0[/inlmath] (tj. [inlmath]x[/inlmath] u [inlmath]I[/inlmath] ili u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu) i [inlmath]\sin x<\cos x[/inlmath], a drugi slučaj [inlmath]\sin x\cos x<0[/inlmath] (tj. [inlmath]x[/inlmath] u [inlmath]II[/inlmath] ili u [inlmath]IV[/inlmath] kvadrantu) i [inlmath]\sin x>\cos x[/inlmath].

Može se odraditi i na neznatno drugačiji način, tako što se posmatraju dva slučaja, [inlmath]\sin x>0[/inlmath] i [inlmath]\sin x<0[/inlmath] (već je konstatovano da [inlmath]\sin x[/inlmath] ne može biti nula).
U prvom slučaju rešenje se mora nalaziti u gornjoj polovini kružnice. Nakon množenja obe strane nejednačine sa [inlmath]\sin x[/inlmath] (pri čemu se ne menja smer znaka nejednakosti zbog pozitivosti sinusa), nejednačina postaje [inlmath]\displaystyle\text{tg }x<1[/inlmath].
U drugom slučaju rešenje se mora nalaziti u donjoj polovini kružnice. Nakon množenja obe strane nejednačine sa [inlmath]\sin x[/inlmath] (pri čemu se menja smer znaka nejednakosti zbog pozitivosti sinusa), nejednačina postaje [inlmath]\displaystyle\text{tg }x>1[/inlmath].

Corba248 je napisao:@1 9 9 9 Ovu jednačinu si slobodno mogao postaviti u novu temu, a tako je i predviđeno Pravilnikom.

Upravo tako, tim pre što je naziv ove teme „Trigonometrijska nejednačina“, a tvoje pitanje se odnosi na trigonometrijsku jednačinu.
Otvaranje novih tema ne naplaćujemo.