MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 30. jun 2015.
16. zadatak

Zbir svih rešenja jednačine [inlmath]\displaystyle\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\sqrt2\left(2\cos^2x-1\right)[/inlmath] koja pripadaju intervalu [inlmath]\left(0,2\pi\right)[/inlmath] je:

Rešenje: [inlmath]\frac{7\pi}{2}[/inlmath]

Kako god da radim zadatak ne mogu nikako da dobijem ovo resenje, nego dobijam [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath]

Levu stranu jednacine mozemo da sredimo preko adicionih formula ili pak preko transformacija, kako god, ovde radim adicione formule i dobijam:
[dispmath]\frac{\sqrt2}{2}\cos x-\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x-\frac{\sqrt2}{2}\sin x=\sqrt2\left(\cos^2x-1\right)\\
-\sqrt2\sin x=-\sqrt2\left(1-\cos^2x\right)\\
-\sqrt2\sin x=-\sqrt2\sin^2x\\
\cancel{-\sqrt2}\sin x=\cancel{-\sqrt2}\sin^2x\\
\sin x(\sin x-1)=0[/dispmath] Ovako dobijem da su resenja [inlmath]x=k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath] s obzirom da se radi o otvorenom intervalu resenja koja dolaze u obzir su [inlmath]x=\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath], medjutim zbir ova dva je [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath], a to nije resenje... ne znam gde gresim, mozda je trebalo da se radi o intervalu gde se ukljucuje i [inlmath]2\pi[/inlmath], onda bi bilo okej.

Greška ti je sasvim banalna. Ali, ne bih ti je zasad otkrivao, nego pokušaj sam da je nađeš na sledeći način:

Dobijeno rešenje [inlmath]x=\pi[/inlmath] uvrštavaj u jedan po jedan korak svog postupka. Za jednačinu u prvom koraku (tj. za početnu jednačinu) svakako ćeš dobiti da nije zadovoljena, a za poslednji korak da jednačina jeste zadovoljena. Zatim možeš uvrstiti u neki od koraka u sredini postupka i proveriti da li je tada jednačina zadovoljena. Ako nije zadovoljena, onda je greška, logično, između tog srednjeg i poslednjeg koraka – u protivnom je između prvog koraka i tog koraka u sredini. Nastavljaš na sličan način i time „sužavaš obruč“ u kom se greška mora nalaziti.

Bilo bi dobro da savladaš ovaj postupak traženja greške, jer greške su uvek i u budućnosti moguće, a ako se greška već desi da onda znaš na koji način da je brzo otkriješ.

Haha, neverovatno.

Nasao sam gresku, problem je sto sam u drugom koraku umesto [inlmath]1-2\cos^2x[/inlmath] pisao [inlmath]1-\cos^2x[/inlmath]...

Za moju odbranu, zadatak sam radio sa papira na kome je iskopiran test i na kome zaista ne postoji ova dvojka, a onda kada sam prekopirao latex sa vaseg sajta nisam ni gledao kako pise, nego sam postupak samo prepisao sa papira, zanemarujuci to sto ovde stoji [inlmath]2[/inlmath], a na mojoj kopiji je nema ..

Hvala

Nema na čemu.
Zanimljiva stvar – da si kojim slučajem radi traženja greške uvrštavao ne rezultat [inlmath]x=\pi[/inlmath] već rezultat [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath], dobio bi za sve korake svog postupka da su jednačine zadovoljene. To je zbog toga što za [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath] važi [inlmath]\cos x=0[/inlmath], pa onda ta izostavljena dvojka ispred kosinusa ne bi imala uticaja, jer bi [inlmath]\cos^2x[/inlmath] bilo isto što i [inlmath]2\cos^2x[/inlmath] (tj. bilo bi jednako nuli).
Zato je u ovakvim situacijama, ako za jedan rezultat dobiješ da su jednačine zadovoljene, potrebno proveriti da li se i ostali rezultati uklapaju, sve dok ne dođeš do onog koji „odudara“.