Trigonometrijska jednačina – probni prijemni MATF 2017.

od **zagormaster** » Petak, 11. Maj 2018, 19:21

10. zadatak
Jednačina [inlmath]\log_3\sin^2x=2\log_3\cos x+3[/inlmath] na intervalu [inlmath][0,4\pi][/inlmath]:
[inlmath]\enclose{circle}{A)}\;[/inlmath]ima [inlmath]4[/inlmath] rešenja;[inlmath]\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;[/inlmath]ima jedno rešenje;[inlmath]\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;[/inlmath]nema rešenja;[inlmath]\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;[/inlmath]ima [inlmath]2[/inlmath] rešenja;[inlmath]\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;[/inlmath]ima više od [inlmath]4[/inlmath] rešenja;[inlmath]\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;[/inlmath]ne znam.

Ako moze neka pomoc, izgleda lagano, ali kontam da postoji neka fora za resavanje pa ako bi neko bio ljubazan da mi otkrije

od **miletrans** » Petak, 11. Maj 2018, 21:58

Početna ideja:
"Strpaj" sve pod jedan logaritam na levoj i jedan logaritam na desnoj strani. Onda "eliminiši" logaritme i rešavaj kao "običnu" trigonometrijsku jednačinu. Trebalo bi da dobiješ tačno rešenje. Ako negde zaribaš, napiši dokle si stigao, pa da rešavamo dalje.

od **Daniel** » Petak, 11. Maj 2018, 22:51

Drugi način bi bio da logaritam kosinusa prebaciš na levu stranu i zatim primeniš osobine logaritama.
Naravno, vodi računa i o uslovima definisanosti.

od **miljan1403** » Petak, 01. Maj 2020, 16:31

[dispmath]\log_3\sin^2x-2\log_3\cos x=3[/dispmath][dispmath]\log_3\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=3\log_33[/dispmath][dispmath]\tan^2x=9[/dispmath] Šta sada treba da uradim?

od **Daniel** » Petak, 01. Maj 2020, 20:28

Trebalo je da dobiješ [inlmath]\text{tg}^2x=27[/inlmath], jer je [inlmath]3\log_33=\log_33^3=\log_327[/inlmath].

Sada odatle nađeš koliko je [inlmath]\text{tg }x[/inlmath] (bez kvadrata), ucrtaš u trigonometrijsku kružnicu one vrednosti koje zadovoljavaju uslove definisanosti jednačine – i izbrojiš koliko rešenja postoji na dva obrta po trigonometrijskoj kružnici (zato jer je od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]2\pi[/inlmath] jedan obrtaj, a ti posmatraš interval od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]4\pi[/inlmath]).

od **miljan1403** » Subota, 02. Maj 2020, 15:38

Ali ako dobijem [inlmath]\tan x=\pm3\sqrt3[/inlmath], ne vidim šta bih radio sa tim. Da li su uslovi definisanosti [inlmath]0^\circ+k\pi<x<\pi+k\pi[/inlmath] za [inlmath]\sin x>0[/inlmath] i [inlmath]-\frac{\pi}{2}+k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] za [inlmath]\cos x>0[/inlmath]?

od **Daniel** » Nedelja, 03. Maj 2020, 12:55

miljan1403 je napisao:Ali ako dobijem [inlmath]\tan x=\pm3\sqrt3[/inlmath], ne vidim šta bih radio sa tim.

Tu dužinu odmeriš na onoj tangenti trigonometrijske kružnice na kojoj i inače posmatraš vrednost tangensa („vertikalna“ tangenta), i uočiš kojim uglovima odgovara ta vrednost tangensa. Ne moraš precizno (niti možeš precizno), jer ovde se i ne traže vrednosti rešenja, već se traži samo broj rešenja.

miljan1403 je napisao:Da li su uslovi definisanosti [inlmath]0^\circ+k\pi<x<\pi+k\pi[/inlmath] za [inlmath]\sin x>0[/inlmath]

Na osnovu čega si zaključio da [inlmath]\sin x[/inlmath] mora biti veći od nule?
I, izbegavaj da „miksuješ“ različite jedinice, znači nemoj upotrebljavati i stepene i radijane u istom izrazu, nego se opredeli za jednu od te dve jedinice (uobičano je u trigonometriji koristiti radijane). Znači, ne [inlmath]0^\circ+k\pi[/inlmath], već [inlmath]0+k\pi[/inlmath], ili jednostavno, samo [inlmath]k\pi[/inlmath].

miljan1403 je napisao:i [inlmath]-\frac{\pi}{2}+k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] za [inlmath]\cos x>0[/inlmath]?

Da, to je ispravan uslov za definisanost drugog logaritma.

od **miljan1403** » Nedelja, 03. Maj 2020, 19:36

Daniel je napisao:Na osnovu čega si zaključio da [inlmath]\sin x[/inlmath] mora biti veći od nule?

Zbog logaritma treba da stavimo da je [inlmath]\sin^2x>0[/inlmath], zar ne? Pretpostavljam da to nije potrebno... ili jeste? :kojik:

Zato što je na kvadrat, kapiram da će uvek biti pozitivno. :think1:

Šta radim u ovom slučaju?

od **Daniel** » Nedelja, 03. Maj 2020, 19:56

Tačno je da zbog logaritma mora biti [inlmath]\sin^2x>0[/inlmath], ali iz [inlmath]\sin^2x>0[/inlmath] ne sledi [inlmath]\sin x>0[/inlmath], već samo sledi [inlmath]\sin x\ne0[/inlmath].

od **miljan1403** » Nedelja, 03. Maj 2020, 20:19

Da u pravu si

Hvala ti na svemu

Trigonometrijska jednačina – probni prijemni MATF 2017.

Trigonometrijska jednačina – probni prijemni MATF 2017.

Sharuj ovu temu na:

Re: Trigonometrijska jednačina – probni prijemni MATF 2017.

Re: Trigonometrijska jednačina – probni prijemni MATF 2017.

Re: Trigonometrijska jednačina – probni prijemni MATF 2017.

Re: Trigonometrijska jednačina – probni prijemni MATF 2017.

Re: Trigonometrijska jednačina – probni prijemni MATF 2017.

Re: Trigonometrijska jednačina – probni prijemni MATF 2017.

Re: Trigonometrijska jednačina – probni prijemni MATF 2017.

Re: Trigonometrijska jednačina – probni prijemni MATF 2017.

Re: Trigonometrijska jednačina – probni prijemni MATF 2017.

Ko je OnLine