Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 14:19
od maxaa
Treba mi mala pomoc oko zadatka:

Ako je [inlmath]\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\sqrt\frac{a}{b},\;(a>0,\;b>0,\;a\ne b)[/inlmath] tada je [inlmath]\sin x[/inlmath] jednak:

Evo kako sam ja krenuo:

[dispmath]\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]
Primenim formulu za razliku uglova kod tangensa:
[dispmath]\frac{\cancel{\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}}-\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\cancel{\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}}\mathrm{tg}\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]
Dobijem sledece i ne znam dalje:
[dispmath]\frac{1-\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\mathrm{tg}\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 14:27
od forzajuve
Ovo nikako ne smes da skracujes!!!
[dispmath]\frac{\cancel{\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}}-\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\cancel{\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}}\mathrm{tg}\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]
Ne smes da skracujes nego samo u sledecem koraku napisi
[dispmath]\frac{1-\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\mathrm{tg}\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]
zato sto je [inlmath]\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}=1[/inlmath]

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 14:39
od maxaa
Nisam skratio, nego nisam znao kako da napisem tu novu komandu latex-a, pa sam mislio da cete raumeti kroz dalji deo zadatka da sam to napisao kao [inlmath]\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}=1[/inlmath]

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 14:40
od maxaa
Ne smes da skracujes nego samo u sledecem koraku napisi
[dispmath]\frac{1-\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\mathrm{tg}\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]
zato sto je [inlmath]\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}=1[/inlmath]

Pa to sam i napisao. :kojik:

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 14:43
od forzajuve
Pa jesi napisao, ali si korak pre toga napisao kao da se skracuje - to ne sme tako da se pise. Razumem sta si napisao ali cim sam video ono skracivanje dalje nisam ni gledao - morao sam da ti ukazem na gresku. Posle sam video sta si napisao.

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 14:46
od maxaa
Ma napisao bih ja to lepo nego nisam znao koja komanda ide, nisam nasao u uputstvu, nasao sam jedino \cancel za skracivanje. :indiffer:

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 14:50
od forzajuve
Skrenuo sam ti paznju zbog toga da ne bi to radio na pismenom, kontrolnom, prijemnom....Ako si to uradio zbog latex-a onda ok - nije frka. Mogao si ovako da napises:
[dispmath]\frac{\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}-\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}\mathrm{tg}\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]
pa u sledecem koraku samo napises ovo:
[dispmath]\frac{1-\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\mathrm{tg}\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 15:05
od maxaa
Oke, a znas li kako da resim zadatak do kraja, ja dalje od ovoga ne znam, cak nisam siguran ni da li je to ispravan pocetak zadatka, u smislu da li razmisljam u pravom smeru?

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 15:53
od Daniel
:lol:
Polako, Forza, nemoj odmah da linčuješ čoveka. :lol: (mi sad, kao ono, „dobar i loš policajac“ :mrgreen: )
Razumeo sam šta je maxaa hteo da napiše i sigurno ne bi tako napisao da je radio na papiru, nego nije znao kako da upotrebi \cancel komandu, a za to priznajem svoju krivicu jer nisam još uvek uputstvo dopunio tim novim komandama... :oops:
To bi trebalo da piše[dispmath]\frac{\cancelto{1}{\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}}-\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\cancelto{1}{\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}}\mathrm{tg}\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]ali, jopet kažem, razumeo sam šta je čovek hteo da kaže...

LM...
Sad pomnožiš brojilac i imenilac sa [inlmath]\cos\frac{x}{2}[/inlmath] i dobiješ[dispmath]\frac{\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]Pa pomnožiš i brojilac i imenilac ili sa [inlmath]\left(\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\right)[/inlmath] ili sa [inlmath]\left(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)[/inlmath]. Recimo, sa [inlmath]\left(\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\right)[/inlmath]:[dispmath]\frac{\overbrace{\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}}^{\cos x}}{\underbrace{\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}}_1+\underbrace{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}_{\sin x}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath][dispmath]\frac{\cos x}{1+\sin x}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]Zbog toga što u imeniocu imamo [inlmath]1+\sin x[/inlmath], [inlmath]\sin x[/inlmath] ne sme biti [inlmath]-1[/inlmath], ali [inlmath]\sin x[/inlmath] i ne može biti [inlmath]-1[/inlmath] jer bi to značilo da je [inlmath]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], a to bi značilo da je leva strana zadate jednačine, [inlmath]\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)[/inlmath], jednaka [inlmath]\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)[/inlmath], a to ne bi bilo definisano.

E sad, treba ceo ovaj izraz da izrazimo preko sinusa. Smeta nam ovaj kosinus u imeniocu. Njega možemo napisati kao [inlmath]\pm\sqrt{1-\sin^2 x}[/inlmath], ali kako da znamo da li da upotrebimo plus ili minus?

Pošto je [inlmath]\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\sqrt\frac{a}{b},\;a>0\;b>0[/inlmath], desna strana je uvek pozitivna, znači, mora biti pozitivna i leva strana:

[inlmath]\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)>0[/inlmath]

[inlmath]k\pi<\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath]

[inlmath]-\frac{\pi}{4}+k\pi<-\frac{x}{2}<\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath]

[inlmath]-\frac{\pi}{2}+2k\pi<-x<\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath]

[inlmath]-\frac{\pi}{2}+2k\pi<x<\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath]

Iz ovoga vidimo da se [inlmath]x[/inlmath] nalazi ili u [inlmath]I[/inlmath] ili u [inlmath]IV[/inlmath] kvadrantu, tj. da mu je kosinus uvek veći od nule. To znači, kada kosinus izrazimo preko sinusa, ispred korena uzimamo znak plus: [inlmath]\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}[/inlmath][dispmath]\frac{\sqrt{1-\sin^2 x}}{1+\sin x}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath][inlmath]1+\sin x[/inlmath] ne može biti negativno, jer bi to značilo da je [inlmath]\sin x<-1[/inlmath], što je nemoguće. Pošto su obe strane jednačine pozitivne, možemo sve bez problema kvadrirati:[dispmath]\frac{1-\sin^2 x}{1+2\sin x+\sin^2 x}=\frac{a}{b}[/dispmath][dispmath]b-b\sin^2 x=a+2a\sin x+a\sin^2 x[/dispmath][dispmath]a\sin^2 x+b\sin^2 x+2a\sin x+a-b=0[/dispmath][dispmath]\left(a+b\right)\sin^2 x+2a\sin x+a-b=0[/dispmath][dispmath]\left(\sin x\right)_{1,2}=\frac{-\cancel 2a\pm\sqrt{\cancel 4a^2-\cancel 4\left(a+b\right)\left(a-b\right)}}{\cancel 2\left(a+b\right)}[/dispmath][dispmath]\left(\sin x\right)_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{\cancel{a^2}-\left(\cancel{a^2}-b^2\right)}}{a+b}[/dispmath][dispmath]\left(\sin x\right)_{1,2}=\frac{-a\pm b}{a+b}[/dispmath][dispmath]\cancel{\left(\sin x\right)_1=-1},\quad\enclose{box}{\left(\sin x\right)_2=\frac{b-a}{a+b}}[/dispmath]
Gore sam već napisao zašto [inlmath]\sin x[/inlmath] ne može biti [inlmath]-1[/inlmath], tako da to rešenje odbacujemo.

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 16:06
od maxaa
Huh, pozamasnog li zadatka :D Ali razumeo sam sto je najvaznije :D Hvala! :thumbup:

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 16:30
od Daniel
Bilo bi, možda, pravilnije da sam odmah u startu napisao uslov da jednačina uopšte bude definisana... Pošto imamo [inlmath]\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)[/inlmath], uslov definisanosti je

[inlmath]\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\ne\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath]

[inlmath]\frac{x}{2}\ne\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath]

[inlmath]\frac{x}{2}\ne -\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath]

[inlmath]x\ne -\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath]

a pošto se u zadatku traži sinus, uslov definisanosi primenjen na sinus bio bi

[inlmath]\sin x\ne -1[/inlmath]

Nego, ne uspevam nigde da vidim zbog čega je uopšte zadat uslov da je [inlmath]a\ne b[/inlmath]... Eventualna jednakost brojeva [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] ne bi imala uticaja ni na postupak, ni na definisanost rešenja (koje bi u tom slučaju, naravno, bilo [inlmath]0[/inlmath])...

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 16:44
od maxaa
I mene je tako neki slican uslov na pocetku u zagradi bunio ( mislim da je bio zadatak s polinomima), koji takodje nije uticao niti se pojavljivao u zdataku, pa sam pitao profesora, a on mi je rekao, da vecinom te uslove u zagradi, dosta cesto sada stavljaju, da bi se ovi na fakultetima ogradili kada neko ulozi zalbu, jer se kao desavalo da ljudi urade pogresno zadatak ali uvide propust (tipa nije stavljen uslov) i onda angazuju advokata pa tu nastane citava frka oko nebuloze, mozda je i u ovom zadatku taj uslov nebitan. :)

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Nedelja, 01. Decembar 2013, 06:24
od Vivi
Evo jednog malo jednostavnijeg rešenja. Pošto još uvek nisam izverziran sa Latex-om valjda ćete shvatiti šta je pisac hteo da kaže....
[dispmath]\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\mathrm{tg}\left(\frac{\frac{\pi}{2}-x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}=\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}=\sqrt{\frac{a}{b}}[/dispmath]
[dispmath]\frac{a}{b}=\frac{1-\sin x}{1+\sin x}[/dispmath]
Dalje je lako :)