Stranica 1 od 2

Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 14:19
od maxaa
Treba mi mala pomoc oko zadatka:

Ako je [inlmath]\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\sqrt\frac{a}{b},\;(a>0,\;b>0,\;a\ne b)[/inlmath] tada je [inlmath]\sin x[/inlmath] jednak:

Evo kako sam ja krenuo:

[dispmath]\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]
Primenim formulu za razliku uglova kod tangensa:
[dispmath]\frac{\cancel{\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}}-\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\cancel{\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}}\mathrm{tg}\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]
Dobijem sledece i ne znam dalje:
[dispmath]\frac{1-\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\mathrm{tg}\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 14:27
od forzajuve
Ovo nikako ne smes da skracujes!!!
[dispmath]\frac{\cancel{\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}}-\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\cancel{\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}}\mathrm{tg}\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]
Ne smes da skracujes nego samo u sledecem koraku napisi
[dispmath]\frac{1-\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\mathrm{tg}\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]
zato sto je [inlmath]\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}=1[/inlmath]

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 14:39
od maxaa
Nisam skratio, nego nisam znao kako da napisem tu novu komandu latex-a, pa sam mislio da cete raumeti kroz dalji deo zadatka da sam to napisao kao [inlmath]\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}=1[/inlmath]

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 14:40
od maxaa
Ne smes da skracujes nego samo u sledecem koraku napisi
[dispmath]\frac{1-\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\mathrm{tg}\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]
zato sto je [inlmath]\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}=1[/inlmath]

Pa to sam i napisao. :kojik:

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 14:43
od forzajuve
Pa jesi napisao, ali si korak pre toga napisao kao da se skracuje - to ne sme tako da se pise. Razumem sta si napisao ali cim sam video ono skracivanje dalje nisam ni gledao - morao sam da ti ukazem na gresku. Posle sam video sta si napisao.

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 14:46
od maxaa
Ma napisao bih ja to lepo nego nisam znao koja komanda ide, nisam nasao u uputstvu, nasao sam jedino \cancel za skracivanje. :indiffer:

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 14:50
od forzajuve
Skrenuo sam ti paznju zbog toga da ne bi to radio na pismenom, kontrolnom, prijemnom....Ako si to uradio zbog latex-a onda ok - nije frka. Mogao si ovako da napises:
[dispmath]\frac{\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}-\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}\mathrm{tg}\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]
pa u sledecem koraku samo napises ovo:
[dispmath]\frac{1-\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\mathrm{tg}\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 15:05
od maxaa
Oke, a znas li kako da resim zadatak do kraja, ja dalje od ovoga ne znam, cak nisam siguran ni da li je to ispravan pocetak zadatka, u smislu da li razmisljam u pravom smeru?

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 15:53
od Daniel
:lol:
Polako, Forza, nemoj odmah da linčuješ čoveka. :lol: (mi sad, kao ono, „dobar i loš policajac“ :mrgreen: )
Razumeo sam šta je maxaa hteo da napiše i sigurno ne bi tako napisao da je radio na papiru, nego nije znao kako da upotrebi \cancel komandu, a za to priznajem svoju krivicu jer nisam još uvek uputstvo dopunio tim novim komandama... :oops:
To bi trebalo da piše[dispmath]\frac{\cancelto{1}{\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}}-\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\cancelto{1}{\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}}\mathrm{tg}\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]ali, jopet kažem, razumeo sam šta je čovek hteo da kaže...

LM...
Sad pomnožiš brojilac i imenilac sa [inlmath]\cos\frac{x}{2}[/inlmath] i dobiješ[dispmath]\frac{\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]Pa pomnožiš i brojilac i imenilac ili sa [inlmath]\left(\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\right)[/inlmath] ili sa [inlmath]\left(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)[/inlmath]. Recimo, sa [inlmath]\left(\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\right)[/inlmath]:[dispmath]\frac{\overbrace{\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}}^{\cos x}}{\underbrace{\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}}_1+\underbrace{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}_{\sin x}}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath][dispmath]\frac{\cos x}{1+\sin x}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath]Zbog toga što u imeniocu imamo [inlmath]1+\sin x[/inlmath], [inlmath]\sin x[/inlmath] ne sme biti [inlmath]-1[/inlmath], ali [inlmath]\sin x[/inlmath] i ne može biti [inlmath]-1[/inlmath] jer bi to značilo da je [inlmath]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], a to bi značilo da je leva strana zadate jednačine, [inlmath]\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)[/inlmath], jednaka [inlmath]\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)[/inlmath], a to ne bi bilo definisano.

E sad, treba ceo ovaj izraz da izrazimo preko sinusa. Smeta nam ovaj kosinus u imeniocu. Njega možemo napisati kao [inlmath]\pm\sqrt{1-\sin^2 x}[/inlmath], ali kako da znamo da li da upotrebimo plus ili minus?

Pošto je [inlmath]\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\sqrt\frac{a}{b},\;a>0\;b>0[/inlmath], desna strana je uvek pozitivna, znači, mora biti pozitivna i leva strana:

[inlmath]\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)>0[/inlmath]

[inlmath]k\pi<\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath]

[inlmath]-\frac{\pi}{4}+k\pi<-\frac{x}{2}<\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath]

[inlmath]-\frac{\pi}{2}+2k\pi<-x<\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath]

[inlmath]-\frac{\pi}{2}+2k\pi<x<\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath]

Iz ovoga vidimo da se [inlmath]x[/inlmath] nalazi ili u [inlmath]I[/inlmath] ili u [inlmath]IV[/inlmath] kvadrantu, tj. da mu je kosinus uvek veći od nule. To znači, kada kosinus izrazimo preko sinusa, ispred korena uzimamo znak plus: [inlmath]\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}[/inlmath][dispmath]\frac{\sqrt{1-\sin^2 x}}{1+\sin x}=\sqrt\frac{a}{b}[/dispmath][inlmath]1+\sin x[/inlmath] ne može biti negativno, jer bi to značilo da je [inlmath]\sin x<-1[/inlmath], što je nemoguće. Pošto su obe strane jednačine pozitivne, možemo sve bez problema kvadrirati:[dispmath]\frac{1-\sin^2 x}{1+2\sin x+\sin^2 x}=\frac{a}{b}[/dispmath][dispmath]b-b\sin^2 x=a+2a\sin x+a\sin^2 x[/dispmath][dispmath]a\sin^2 x+b\sin^2 x+2a\sin x+a-b=0[/dispmath][dispmath]\left(a+b\right)\sin^2 x+2a\sin x+a-b=0[/dispmath][dispmath]\left(\sin x\right)_{1,2}=\frac{-\cancel 2a\pm\sqrt{\cancel 4a^2-\cancel 4\left(a+b\right)\left(a-b\right)}}{\cancel 2\left(a+b\right)}[/dispmath][dispmath]\left(\sin x\right)_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{\cancel{a^2}-\left(\cancel{a^2}-b^2\right)}}{a+b}[/dispmath][dispmath]\left(\sin x\right)_{1,2}=\frac{-a\pm b}{a+b}[/dispmath][dispmath]\cancel{\left(\sin x\right)_1=-1},\quad\enclose{box}{\left(\sin x\right)_2=\frac{b-a}{a+b}}[/dispmath]
Gore sam već napisao zašto [inlmath]\sin x[/inlmath] ne može biti [inlmath]-1[/inlmath], tako da to rešenje odbacujemo.

Re: Odrediti sin x

PostPoslato: Ponedeljak, 17. Jun 2013, 16:06
od maxaa
Huh, pozamasnog li zadatka :D Ali razumeo sam sto je najvaznije :D Hvala! :thumbup: