MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF - 16. jun 2018.
10. zadatak

Ako je [inlmath]A[/inlmath] broj rešenja jednačine [inlmath]\cos(\sin\pi x)=0[/inlmath] koja pripadaju intervalu [inlmath][0,2][/inlmath] a [inlmath]B[/inlmath] broj rešenja jednačine [inlmath]\sin(\cos\pi x)=0[/inlmath] koja pripadaju intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath] onda je [inlmath]A+B[/inlmath]?

Tačan odgovor je [inlmath]A+B=2[/inlmath]

Ja sam započeo [inlmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] i ovu drugu kao [inlmath]\cos\pi x=k\pi[/inlmath] i ja stvarno nemam predstavu šta odavde dalje da radim.

Ako je [inlmath]\cos\pi x=k\pi[/inlmath], a [inlmath]k[/inlmath] je celobrojno, koliko onda mora biti [inlmath]k[/inlmath]?

Da li to znači da uzimam [inlmath]k[/inlmath] iz ponuđenih intervala za rešenja jednačina, ili prilagođavam [inlmath]k[/inlmath] tako da mi rešenja upadaju u taj interval?

Vrednost kosinusa se mora nalaziti u intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath].
Slično razmišljanje primeniš i u prvoj jednačini za sinus.

[dispmath]\sin(\cos\pi x)=0\\
\cos\pi x=k\pi[/dispmath] [inlmath]k=0,\;\cos\pi x=0[/inlmath]
[dispmath]\pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\
x=\frac{1}{2}+k[/dispmath] rešenja u intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath] su [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath]
Je l ovo tačno?

Apsolutno.
Uostalom, uvrstiš rešenja u početnu jednačinu [inlmath]\sin(\cos\pi x)=0[/inlmath] i:
[dispmath]\sin\left(\cos\frac{\pi}{2}\right)=\sin0=0\\
\sin\biggl(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\biggr)=\sin0=0[/dispmath] Sad uradi to isto za prvu jednačinu.

U prvoj jednačini [inlmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] uzmemo da je [inlmath]k=0[/inlmath] i dobijemo [inlmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}[/inlmath].
Da li to znači da ta jednačina nema rešenja?

Tako je. I da uzmeš bilo koju drugu (celobrojnu) vrednost za [inlmath]k[/inlmath], desna strana nece biti u intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath].

Okej sve ovo mi je postalo malo konfuzno pa ću pokušati da sve stavim na jedno mesto pa da pitam šta ne razumem.
Znači imamo te dve jednačine: [inlmath]\cos\left(\sin\pi x\right)=0[/inlmath] u intervalu od [inlmath]\left[0,2\right][/inlmath].
I jednačina [inlmath]\sin\left(\cos\pi x\right)=0[/inlmath] u intervalu od [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath].

Uzmemo drugu jednačinu:
[dispmath]\sin\left(\cos\pi x\right)=0[/dispmath][dispmath]\cos\pi x=k\pi[/dispmath][dispmath]\cos\pi x=0[/dispmath] za [inlmath]k=0[/inlmath]
[dispmath]\pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\big/:\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{1}{2}+k[/dispmath] i odatle dobijamo rešenja [inlmath]x=\frac{1}{2}\;\lor\;x=-\frac{1}{2}[/inlmath] zato što nam je interval između [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath]

A sad prva jednačina:
[dispmath]\cos\left(\sin\pi x\right)=0[/dispmath][dispmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath][dispmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}[/dispmath] za [inlmath]k=0[/inlmath], da li sada to podelim sa [inlmath]\pi[/inlmath] i dobijem [inlmath]\sin x=\frac{1}{2}[/inlmath] ili?

Rešenje zadatka je [inlmath]2[/inlmath], pošto imamo [inlmath]2[/inlmath] rešenja u drugoj jednačini, onda to znači da prva jednačina nema ni jedno rešenje? Zar ne? Ali zašto?

miljan1403 je napisao:Rešenje zadatka je [inlmath]2[/inlmath], pošto imamo [inlmath]2[/inlmath] rešenja u drugoj jednačini, onda to znači da prva jednačina nema ni jedno rešenje? Zar ne? Ali zašto?

Tako je, prva jednačina nema rešenja. Zašto? Zato što sinus ma kojeg ugla mora biti u intervalu [inlmath][-1, 1][/inlmath]. Da li postoji neki ugao čiji je sinus, na primer, [inlmath]1.56[/inlmath] ili [inlmath]-5[/inlmath]? Naravno da ne postoji. Uzmi kalkulator i izračunaj koliko je [inlmath]\arcsin5[/inlmath] (pisace Math error), a uzmi i vidi koliko je [inlmath]\arcsin0.5[/inlmath] (pisace [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] ili [inlmath]30^\circ[/inlmath]).

E sad da se vratimo na jednačinu [inlmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}[/inlmath].
Desna strana je približno [inlmath]1.57[/inlmath] ([inlmath]3.14/2[/inlmath]), sto očigledno ne pripada intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath] Dakle, [inlmath]\sin\pi x[/inlmath] nikako ne moze biti jednako [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], pa data jednačina nema rešenja.
Nadam se da ti je sada jasno. Ako opet imas neki nedoumica, pitaj, pa cemo videti sta te koči.