MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF - 16. jun 2018.
10. zadatak

Ako je [inlmath]A[/inlmath] broj rešenja jednačine [inlmath]\cos(\sin\pi x)=0[/inlmath] koja pripadaju intervalu [inlmath][0,2][/inlmath] a [inlmath]B[/inlmath] broj rešenja jednačine [inlmath]\sin(\cos\pi x)=0[/inlmath] koja pripadaju intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath] onda je [inlmath]A+B[/inlmath]?

Tačan odgovor je [inlmath]A+B=2[/inlmath]

Ja sam započeo [inlmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] i ovu drugu kao [inlmath]\cos\pi x=k\pi[/inlmath] i ja stvarno nemam predstavu šta odavde dalje da radim.

Ako je [inlmath]\cos\pi x=k\pi[/inlmath], a [inlmath]k[/inlmath] je celobrojno, koliko onda mora biti [inlmath]k[/inlmath]?

Da li to znači da uzimam [inlmath]k[/inlmath] iz ponuđenih intervala za rešenja jednačina, ili prilagođavam [inlmath]k[/inlmath] tako da mi rešenja upadaju u taj interval?

Vrednost kosinusa se mora nalaziti u intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath].
Slično razmišljanje primeniš i u prvoj jednačini za sinus.

[dispmath]\sin(\cos\pi x)=0\\
\cos\pi x=k\pi[/dispmath] [inlmath]k=0,\;\cos\pi x=0[/inlmath]
[dispmath]\pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\
x=\frac{1}{2}+k[/dispmath] rešenja u intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath] su [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath]
Je l ovo tačno?

Apsolutno.
Uostalom, uvrstiš rešenja u početnu jednačinu [inlmath]\sin(\cos\pi x)=0[/inlmath] i:
[dispmath]\sin\left(\cos\frac{\pi}{2}\right)=\sin0=0\\
\sin\biggl(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\biggr)=\sin0=0[/dispmath] Sad uradi to isto za prvu jednačinu.

U prvoj jednačini [inlmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] uzmemo da je [inlmath]k=0[/inlmath] i dobijemo [inlmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}[/inlmath].
Da li to znači da ta jednačina nema rešenja?

Tako je. I da uzmeš bilo koju drugu (celobrojnu) vrednost za [inlmath]k[/inlmath], desna strana nece biti u intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath].

Okej sve ovo mi je postalo malo konfuzno pa ću pokušati da sve stavim na jedno mesto pa da pitam šta ne razumem.
Znači imamo te dve jednačine: [inlmath]\cos\left(\sin\pi x\right)=0[/inlmath] u intervalu od [inlmath]\left[0,2\right][/inlmath].
I jednačina [inlmath]\sin\left(\cos\pi x\right)=0[/inlmath] u intervalu od [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath].

Uzmemo drugu jednačinu:
[dispmath]\sin\left(\cos\pi x\right)=0[/dispmath][dispmath]\cos\pi x=k\pi[/dispmath][dispmath]\cos\pi x=0[/dispmath] za [inlmath]k=0[/inlmath]
[dispmath]\pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\big/:\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{1}{2}+k[/dispmath] i odatle dobijamo rešenja [inlmath]x=\frac{1}{2}\;\lor\;x=-\frac{1}{2}[/inlmath] zato što nam je interval između [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath]

A sad prva jednačina:
[dispmath]\cos\left(\sin\pi x\right)=0[/dispmath][dispmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath][dispmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}[/dispmath] za [inlmath]k=0[/inlmath], da li sada to podelim sa [inlmath]\pi[/inlmath] i dobijem [inlmath]\sin x=\frac{1}{2}[/inlmath] ili?

Rešenje zadatka je [inlmath]2[/inlmath], pošto imamo [inlmath]2[/inlmath] rešenja u drugoj jednačini, onda to znači da prva jednačina nema ni jedno rešenje? Zar ne? Ali zašto?

miljan1403 je napisao:Rešenje zadatka je [inlmath]2[/inlmath], pošto imamo [inlmath]2[/inlmath] rešenja u drugoj jednačini, onda to znači da prva jednačina nema ni jedno rešenje? Zar ne? Ali zašto?

Tako je, prva jednačina nema rešenja. Zašto? Zato što sinus ma kojeg ugla mora biti u intervalu [inlmath][-1, 1][/inlmath]. Da li postoji neki ugao čiji je sinus, na primer, [inlmath]1.56[/inlmath] ili [inlmath]-5[/inlmath]? Naravno da ne postoji. Uzmi kalkulator i izračunaj koliko je [inlmath]\arcsin5[/inlmath] (pisace Math error), a uzmi i vidi koliko je [inlmath]\arcsin0.5[/inlmath] (pisace [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] ili [inlmath]30^\circ[/inlmath]).

E sad da se vratimo na jednačinu [inlmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}[/inlmath].
Desna strana je približno [inlmath]1.57[/inlmath] ([inlmath]3.14/2[/inlmath]), sto očigledno ne pripada intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath] Dakle, [inlmath]\sin\pi x[/inlmath] nikako ne moze biti jednako [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], pa data jednačina nema rešenja.
Nadam se da ti je sada jasno. Ako opet imas neki nedoumica, pitaj, pa cemo videti sta te koči.

Da sada mi je super jasno Uvek nekako zaboravim da je [inlmath]\pi[/inlmath] ustvari broj koji iznosi [inlmath]3.14[/inlmath] Msm znam da iznosi toliko, već nekako moj mozak se fokusira da sve ostane u radijanima.
Hvala ti puno

Evo mala dopuna za [inlmath]\pi[/inlmath].
Konstanta [inlmath]\pi[/inlmath] predstavlja odnos obima i prečnika kruga i uvek iznosi [inlmath]3.14[/inlmath] (zaokruzeno na dve decimale).
Nemoj da te buni to sto kad pišemo ugao od, na primer, [inlmath]90^\circ[/inlmath] pišemo kao [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]. Iako se ne piše ''rad'' podrazumeva se da je ugao u radijanima. Jedan radijan iznosi oko [inlmath]57.39^\circ[/inlmath]. Kad pomnozis radijan (bez zaokrugljivanja) i [inlmath]\pi[/inlmath] (takodje bez zaokrugljivanja) dobices okruglo [inlmath]180[/inlmath]. Ako ne veruješ, uzmi kalkulator pa proveri

miljan1403 je napisao:[dispmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}[/dispmath] za [inlmath]k=0[/inlmath], da li sada to podelim sa [inlmath]\pi[/inlmath] i dobijem [inlmath]\sin x=\frac{1}{2}[/inlmath] ili?

U jednačini [inlmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}[/inlmath] nikako se ne sme kratiti [inlmath]\pi[/inlmath] na levoj strani (koje je unutar sinusa) i [inlmath]\pi[/inlmath] na desnoj strani.

Daniel je napisao:U jednačini [inlmath]\sin\pi x=\frac{\pi}{2}[/inlmath] nikako se ne sme kratiti [inlmath]\pi[/inlmath] na levoj strani (koje je unutar sinusa) i [inlmath]\pi[/inlmath] na desnoj strani.

Da u pravu si, ne sme.

Frank je napisao:Evo mala dopuna za [inlmath]\pi[/inlmath].
Konstanta [inlmath]\pi[/inlmath] predstavlja odnos obima i prečnika kruga i uvek iznosi [inlmath]3.14[/inlmath] (zaokruzeno na dve decimale).
Nemoj da te buni to sto kad pišemo ugao od, na primer, [inlmath]90^\circ[/inlmath] pišemo kao [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]. Iako se ne piše ''rad'' podrazumeva se da je ugao u radijanima. Jedan radijan iznosi oko [inlmath]57.39^\circ[/inlmath]. Kad pomnozis radijan (bez zaokrugljivanja) i [inlmath]\pi[/inlmath] (takodje bez zaokrugljivanja) dobices okruglo [inlmath]180[/inlmath]. Ako ne veruješ, uzmi kalkulator pa proveri

Hvala ti na objašnjenju