MATEMANIJA

Dobar dan jos jednom. Poceo sam da radim trigonometrijske jednacine, medjutim zbog rupa u znanju iz adicionih formula tu i tamo naletim na problem.
Naime, kad sam radio adicione formule za zbir i razliku uglova preskocio sam da uradim zadatak gdje se trazi da izracunam [inlmath]\sin(x-y+z)[/inlmath], te [inlmath]\sin(x+y+z)[/inlmath], a zadane su vrijednosti trigonometrijskih funkcija sinusa ili kosinusa sva tri ugla, te njihovi polozaji (u kojim kvadrantima se nalaze).


Radi se o 1449. (i 1450.) zadatku iz Veneove zbirke zadataka za drugi razred: Odrediti [inlmath]\sin(x-y+z)[/inlmath], ako je: [inlmath]\sin x=\frac{-3}{5}[/inlmath] ([inlmath]III[/inlmath] kv.), [inlmath]\cos y=\frac{5}{13}[/inlmath] ([inlmath]IV[/inlmath] kv.), [inlmath]\sin z=\frac{12}{13}[/inlmath] ([inlmath]I[/inlmath] kv.)

Prvo sto napravim je da izracunam druge trigonometrijske funkcije koje mi nedostaju u formuli za razliku uglova, te onda po formuli izracunam razliku uglova [inlmath]\sin(x-y)[/inlmath]. Dobijeni rezultat je [inlmath]\frac{33}{65}[/inlmath], te sad mi ostaje onaj [inlmath]+z[/inlmath]. Sta sa njim?
Da li biste mogli da pocetnu ideju?
Unaprijed hvala.

Sportski pozdrav!

Aleksej je napisao:te onda po formuli izracunam razliku uglova [inlmath]\sin(x-y)[/inlmath]. Dobijeni rezultat je [inlmath]\frac{33}{65}[/inlmath],

Koliko si dobio za [inlmath]\cos x[/inlmath], a koliko za [inlmath]\sin y[/inlmath]?

Aleksej je napisao:te sad mi ostaje onaj [inlmath]+z[/inlmath]. Sta sa njim?

[inlmath](x-y)[/inlmath] posmatraš kao jedan ugao, a [inlmath]z[/inlmath] kao drugi ugao. Na njih primeniš adicionu formulu. Naravno, biće potrebno da prethodno odrediš i [inlmath]\cos(x-y)[/inlmath].

Pošto si spomenuo i traženje sinusa od [inlmath](x+y+z)[/inlmath], taj deo se dosta pojednostavljuje ako uočiš vezu između uglova [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath].

za [inlmath]\cos x=\frac{4}{5}[/inlmath]
za [inlmath]\sin y=\frac{-12}{13}[/inlmath]
Zatim sam kao sto ste mi rekli rijesio sinus i kosinus ugla [inlmath](x-y)[/inlmath] i dobio: [inlmath]\sin(x-y)=\frac{33}{65}\qquad[/inlmath] te [inlmath]\qquad\cos(x-y)=\frac{56}{65}[/inlmath]
Konacno rjesenje mi je: [inlmath]\frac{837}{845}[/inlmath]

Moje rjesenje se ne poklapa sa rjesenjem iz zbirke, ali je to vjerovatno posljedica pogresnog racuna. Hvala vam jos jednom na vasem trudu i izdvojenom vremenu.

Aleksej je napisao:za [inlmath]\cos x=\frac{4}{5}[/inlmath]

Vodi računa o tome da se, po uslovu zadatka, ugao [inlmath]x[/inlmath] nalazi u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu. Pa, može li onda njegov kosinus biti [inlmath]\frac{4}{5}[/inlmath]?

Da u pravu si, treba da bude negativan predznak. Cesto mi se desavaju takvi padovi koncentracije, pa cesto ne znam da li sam odabrao pogresan postupak ili sam pogrijesio u racunu. Nesto slicno mi se desavalo sa nekoliko zadataka gdje sam koristio da je [inlmath]\cos\left(x\right)=\sin\left(90^\circ-x\right)[/inlmath], a rjesenja mi se ne poklapaju sa rjesenjima iz zbirke. Ako stignem ovih cu dana objaviti taj jedan zadatak.
Hvala jos jednom. (nikom se ovoliko puta nisam zahvalio ) Svako dobro zelim!