MATEMANIJA

[inlmath]4\sin x+3\cos x=a[/inlmath] ima realna resenja samo ako [inlmath]a[/inlmath] pripada intervalu
Poz

Ovde sad primenjuješ ono pravilo objašnjeno u ovoj temi,
[dispmath]A\sin x+B\cos x=a\sin\left(x+\varphi\right)[/dispmath][dispmath]a=\sqrt{A^2+B^2},\quad\varphi=\begin{cases}
\mathrm{arctg}\frac{B}{A}, & A>0\\
\\
\mathrm{arctg}\frac{B}{A}+\pi, & A<0
\end{cases}[/dispmath]
U ovom našem slučaju,
[dispmath]A=4,\quad B=3\\
\Rightarrow\quad a=\sqrt{4^2+3^2}\quad\Rightarrow\quad a=5[/dispmath]
Vrednost [inlmath]\varphi[/inlmath] nam nije od značaja u ovom zadatku.

Dakle,[dispmath]4\sin x+3\cos x=5\sin\left(x+\varphi\right)[/dispmath]Naša jednačina se svodi na[dispmath]5\sin\left(x+\varphi\right)=a[/dispmath]Pošto je [inlmath]-1\le\sin\left(x+\varphi\right)\le 1[/inlmath], odatle sledi da će za levu stranu jednačine važiti [inlmath]-5\le 5\sin\left(x+\varphi\right)\le 5[/inlmath], što znači da će data jednačina imati realna rešenja ako i desna strana, tj. [inlmath]a[/inlmath], pripada istom tom intervalu, tj.[dispmath]a\in\left[-5,5\right][/dispmath]