MATEMANIJA

[dispmath]\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cos\frac{3\pi}{8}-\sqrt2\cos\frac{5\pi}{8}\right)=?[/dispmath]

[dispmath]\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cos\frac{3\pi}{8}-\sqrt2\cos\frac{5\pi}{8}\right)=\frac{2}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\frac{1}{2}\cos\frac{3\pi}{8}-\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{5\pi}{8}\right)=[/dispmath][dispmath]=\frac{2}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\frac{1}{2}\cos\frac{3\pi}{8}-\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{5\pi}{8}\right)=\frac{2}{\cos\frac{\pi}{8}}\left[\cancel{\frac{1}{2}\cos\frac{3\pi}{8}}-\frac{1}{2}\left(\cos\frac{7\pi}{8}+\cancel{\cos\frac{3\pi}{8}}\right)\right]=[/dispmath][dispmath]=\frac{\cancel2}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(-\cancel{\frac{1}{2}}\cos\frac{7\pi}{8}\right)=-\frac{\cos\left(\pi-\frac{\pi}{8}\right)}{\cos\frac{\pi}{8}}=-\frac{-\cancel{\cos\frac{\pi}{8}}}{\cancel{\cos\frac{\pi}{8}}}=1[/dispmath]

Auuuu, zahvaljujem

Imam jos jedan zadatak, takodje izracunati vrednost izraza.
[dispmath]\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cos\frac{3\pi}{8}-\sqrt2\cos\frac{5\pi}{8}\right)[/dispmath] Krenuo sam da izracunam prvo [inlmath]\cos\frac{3\pi}{8}[/inlmath]
[dispmath]\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{2\pi}{8}\right)=\cos\frac{\pi}{8}\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\sin\frac{\pi}{8}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}\right)[/dispmath] Pa onda [inlmath]\cos\frac{5\pi}{8}[/inlmath]
[dispmath]\cos\left(\frac{2\pi}{8}+\frac{3\pi}{8}\right)=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}\right)-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1}{2}\left(-2\sin\frac{\pi}{8}\right)=-\sin\frac{\pi}{8}[/dispmath] E sad da se vratimo na zadatak:
[dispmath]\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}\right)+\sqrt2\sin\frac{\pi}{8}\right)=\frac{\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right)}{\cos\frac{\pi}{8}}=\frac{\sqrt2}{2}\left(1+\text{tg }\frac{\pi}{8}\right)[/dispmath] E sad u resenju stoji da je izraz jednak [inlmath]1[/inlmath]. Ja sam ovo moje otkucao na wolphram alphi i kaze da je takodje [inlmath]1[/inlmath]. Da sam na prijemnom kako bih rekao da je ovo sve jednako [inlmath]1[/inlmath] ?
Kapiram da bih za [inlmath]\text{tg }\frac{\pi}{8}[/inlmath] mogao reci da je malo vece od [inlmath]0[/inlmath] i da je ovaj [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] priblizno [inlmath]0.7[/inlmath] pa je sve ukupno oko [inlmath]1[/inlmath] ?

Pre svega zamolio bih te da poštuješ odredbe pravilnika, konkretno mislim na Član 10.
Zadatak nije baš sličan prvom zadatku iz ove teme.
Moj postupak:
[dispmath]\cos\frac{3\pi}{8}-\sqrt2\cos\frac{5\pi}{8}=\\
\cos\left(\frac{4\pi}{8}-\frac{\pi}{8}\right)-\sqrt2\cos\left(\frac{4\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right)=\\
\cos\frac{4\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{4\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8}-\sqrt2\left(\cos\frac{4\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{4\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8}\right)=\\
\sin\frac{\pi}{8}+\sqrt2\sin\frac{\pi}{8}[/dispmath] Ovo uvrstimo u početni izraz
[dispmath]\Longrightarrow\;\frac{\sin\frac{\pi}{8}\left(1+\sqrt2\right)}{\cos\frac{\pi}{8}}=\\
\text{tg }\frac{\pi}{8}\left(1+\sqrt2\right)=\\
\text{tg }\frac{\frac{\pi}{4}}{2}\left(1+\sqrt2\right)=\\
\pm\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{1+\cos\frac{\pi}{4}}}\left(1+\sqrt2\right)[/dispmath] S obzirom na to da je [inlmath]\text{tg }\frac{\pi}{8}>0[/inlmath]
[dispmath]\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{1+\frac{\sqrt2}{2}}}\left(1+\sqrt2\right)=\\
\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}\cdot\left(1+\sqrt2\right)^2}=\\
\sqrt{\frac{\left(2-\sqrt2\right)\left(3+2\sqrt2\right)}{2+\sqrt2}}=\\
\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{2+\sqrt2}}=1[/dispmath]

lowzyyy je napisao:[dispmath]\cdots=\frac{\sqrt2}{2}\left(1+\text{tg }\frac{\pi}{8}\right)[/dispmath] E sad u resenju stoji da je izraz jednak [inlmath]1[/inlmath]. Ja sam ovo moje otkucao na wolphram alphi i kaze da je takodje [inlmath]1[/inlmath]. Da sam na prijemnom kako bih rekao da je ovo sve jednako [inlmath]1[/inlmath] ?

Kad si već došao dovde, može se i završiti:
[dispmath]\frac{\sqrt2}{2}\left(1+\text{tg }\frac{\pi}{8}\right)=\frac{\sqrt2}{2}\left(1+\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{1+\cos\frac{\pi}{4}}}\right)=[/dispmath] (Wolf je već objasnio zbog čega plus ispred korena)
[dispmath]=\frac{\sqrt2}{2}\left(1+\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{1+\frac{\sqrt2}{2}}}\right)=\frac{\sqrt2}{2}\left(1+\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}}\right)=\frac{\sqrt2}{2}\left(1+\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}\cdot\frac{2-\sqrt2}{2-\sqrt2}}\right)\\
=\frac{\sqrt2}{2}\left(1+\sqrt{\frac{\left(2-\sqrt2\right)^2}{2}}\right)=\frac{\sqrt2}{2}\left(1+\frac{2-\sqrt2}{\sqrt2}\right)=\frac{\cancel{\sqrt2}}{\bcancel2}\cdot\frac{\bcancel2}{\cancel{\sqrt2}}=1[/dispmath]

Herien Wolf je napisao:Pre svega zamolio bih te da poštuješ odredbe pravilnika, konkretno mislim na Član 10.
Zadatak nije baš sličan prvom zadatku iz ove teme.

Inače, zadatak smo već imali urađen u ovoj temi, pa možete pogledati i taj način. (Kasnije ću ga i premestiti u tu temu.)

shimi je napisao:[dispmath]\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cos\frac{3\pi}{8}-\sqrt2\cos\frac{5\pi}{8}\right)=?[/dispmath]

Moze i ovako:
[dispmath]\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cos\frac{3\pi}{8}-\sqrt2\cos\frac{5\pi}{8}\right)=\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cos\frac{3\pi}{8}-2\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{5\pi}{8}\right)=[/dispmath][dispmath]\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cos\frac{3\pi}{8}-2\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{5\pi}{8}\right)=\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cancel{\cos\frac{3\pi}{8}}-\cancel{\cos\frac{3\pi}{8}}-\cos\frac{7\pi}{8}\right)=[/dispmath][dispmath]\frac{-\cos\frac{7\pi}{8}}{\cos\frac{\pi}{8}}=\frac{-\cos\left(\pi-\frac{\pi}{8}\right)}{\cos\frac{\pi}{8}}=\frac{\cancel{\cos\frac{\pi}{8}}}{\cancel{\cos\frac{\pi}{8}}}=1[/dispmath]

Mislim da ti je promakao drugi post ove teme, u kojem sam zadatak upravo na taj način i uradio.

Kako god, sad kad opet gledam ovaj zadatak nakon tri i po godine, baš me čudi da nisam odmah [inlmath]\cos\frac{5\pi}{8}[/inlmath] napisao kao [inlmath]\cos\left(\pi-\frac{3\pi}{8}\right)[/inlmath], a odatle kao [inlmath]-\cos\frac{3\pi}{8}[/inlmath], čime izraz postaje
[dispmath]\left(1+\sqrt2\right)\frac{\cos\frac{3\pi}{8}}{\cos\frac{\pi}{8}}=[/dispmath] a onda se samo primeni formula za kosinus trostrukog ugla (koja se može izvesti primenom adicione na [inlmath]\cos3\alpha=\cos(2\alpha+\alpha)[/inlmath]), a koja glasi [inlmath]\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha[/inlmath]:
[dispmath]=\left(1+\sqrt2\right)\frac{4\cos^3\frac{\pi}{8}-3\cos\frac{\pi}{8}}{\cos\frac{\pi}{8}}=\left(1+\sqrt2\right)\left(4\cos^2\frac{\pi}{8}-3\right)=[/dispmath] pa onda formula za kosinus polovine ugla,
[dispmath]=\left(1+\sqrt2\right)\left[2\left(1+\cos\frac{\pi}{4}\right)-3\right]=\cdots=1[/dispmath]