MATEMANIJA

Kako da odradim zadatak kad mi nije dato u kom intervalu su uglovi?

12. Ako je [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha=\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{tg}\:\beta=-\frac{1}{3}[/inlmath], tada je izraz [inlmath]\frac{\sin\alpha+\sin\left(\alpha-2\beta\right)}{\cos\alpha+\cos\left(\alpha-2\beta\right)}[/inlmath] jednak:
[inlmath](A)\;\frac{1}{7}\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;\frac{1}{6}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)}\;1\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;2\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;\frac{1}{5}\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]


Kako se u opste radi ovaj zadatak?

19. Dati su brojevi [inlmath]a=\frac{\sin 1}{\sin 2}[/inlmath], [inlmath]b=\frac{\sin 2}{\sin 3}[/inlmath] i [inlmath]c=\frac{\sin 3}{\sin 4}[/inlmath]. Tada je:
[inlmath](A)\;a<b<c\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;c<b<a\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)}\;c<a<b\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;b<a<c\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;a<c<b\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

maxaa je napisao:Kako da odradim zadatak kad mi nije dato u kom intervalu su uglovi?

12. Ako je [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha=\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{tg}\:\beta=-\frac{1}{3}[/inlmath], tada je izraz [inlmath]\frac{\sin\alpha+\sin\left(\alpha-2\beta\right)}{\cos\alpha+\cos\left(\alpha-2\beta\right)}[/inlmath] jednak:
[inlmath](A)\;\frac{1}{7}\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;\frac{1}{6}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)}\;1\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;2\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;\frac{1}{5}\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

[dispmath]\frac{\sin\alpha+\sin\left(\alpha-2\beta\right)}{\cos\alpha+\cos\left(\alpha-2\beta\right)}=\frac{\cancel 2\sin\left(\alpha-\beta\right)\cancel{\cos\beta}}{\cancel 2\cos\left(\alpha-\beta\right)\cancel{\cos\beta}}=\mathrm{tg}\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\mathrm{tg\alpha-\mathrm{tg}\beta}}{1+\mathrm{tg}\alpha\mathrm{tg}\beta}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\frac{1}{3}}=\frac{3+2}{6-1}=1[/dispmath]

Pola sata blenem u zadatak ko tele, ne mogu da izvalim da je ustvari primenjena formula za [inlmath]\sin\alpha+\sin\beta[/inlmath], totalnno sam zaboravio na tu formulu. Hvala!

maxaa je napisao:Kako se u opste radi ovaj zadatak?

19. Dati su brojevi [inlmath]a=\frac{\sin 1}{\sin 2}[/inlmath], [inlmath]b=\frac{\sin 2}{\sin 3}[/inlmath] i [inlmath]c=\frac{\sin 3}{\sin 4}[/inlmath]. Tada je:
[inlmath](A)\;a<b<c\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;c<b<a\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)}\;c<a<b\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;b<a<c\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;a<c<b\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

[dispmath]a=\frac{\sin 1}{\sin 2},\quad b=\frac{\sin 2}{\sin 3}\quad c=\frac{\sin 3}{\sin 4}[/dispmath]
[dispmath]a-b=\frac{\sin 1}{\sin 2}-\frac{\sin 2}{\sin 3}=\frac{\sin 1\sin 3-\sin^2 2}{\sin 2\sin 3}=\frac{-\frac{1}{2}\left(\cos 4-\cos 2\right)-\sin^2 2}{\sin 2\sin 3}[/dispmath]
[dispmath]a-b=\frac{-\frac{1}{2}\left(\cos^2 2-\sin^2 2\right)+\frac{1}{2}\cos 2-\sin^2 2}{\sin 2\sin 3}=\frac{-\frac{1}{2}\cos^2 2+\frac{1}{2}\sin^2 2+\frac{1}2{\cos 2-\sin^2 2}}{\sin 2\sin 3}[/dispmath]
[dispmath]a-b=\frac{\cancelto{-\frac{1}{2}}{\enclose{circle}{-\frac{1}{2}\cos^2 2-\frac{1}{2}\sin^2 2}}+\frac{1}{2}\cos 2}{\sin 2\sin 3}=\frac{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2}{\sin 2\sin 3}=\frac{\cos 2-1}{2\sin 2\sin 3}[/dispmath]
[dispmath]\left.\begin{array}{ll}
\cos 2<1\quad\Rightarrow\quad\cos 2-1<0 \\
\sin 2>0,\quad\sin 3>0
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\frac{\cos 2-1}{2\sin 2\sin 3}<0\quad\Rightarrow\quad a-b<0\quad\Rightarrow\quad a<b[/dispmath]
I sad na sličan način uporediti i [inlmath]a[/inlmath] sa [inlmath]c[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] sa [inlmath]c[/inlmath]...

Sto se tice ovog drugog zadatka, ja sam ga radio vise na pogadjanje i ispalo je isto
[inlmath]\sin 1[/inlmath] sam posmatrao kao [inlmath]\sin\frac{\pi}{3}[/inlmath], dakle tezi [inlmath]\frac{\sqrt{3}}{2}[/inlmath].
[inlmath]\sin 2[/inlmath] sam posmatrao kao [inlmath]\sin\frac{2\pi}{3}[/inlmath], tezi [inlmath]\frac{\sqrt{3}}{2}[/inlmath]
[inlmath]\sin 3[/inlmath] kao [inlmath]\sin\pi[/inlmath], tezi nuli.
I [inlmath]\sin 4[/inlmath] kao [inlmath]\sin\frac{4\pi}{3}[/inlmath], tezi [inlmath]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/inlmath]
I posle kad se podele ovi brojevi sve se lepo dobije

Zanimljiva ideja. A i sasvim ispravna. I praktična.

E divota, da uradim i ja nesto na laksi nacin hahahaha

_Mita je napisao:Sto se tice ovog drugog zadatka, ja sam ga radio vise na pogadjanje i ispalo je isto
[inlmath]\sin 1[/inlmath] sam posmatrao kao [inlmath]\sin\frac{\pi}{3}[/inlmath], dakle tezi [inlmath]\frac{\sqrt{3}}{2}[/inlmath].
[inlmath]\sin 2[/inlmath] sam posmatrao kao [inlmath]\sin\frac{2\pi}{3}[/inlmath], tezi [inlmath]\frac{\sqrt{3}}{2}[/inlmath]
[inlmath]\sin 3[/inlmath] kao [inlmath]\sin\pi[/inlmath], tezi nuli.
I [inlmath]\sin 4[/inlmath] kao [inlmath]\sin\frac{4\pi}{3}[/inlmath], tezi [inlmath]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/inlmath]
I posle kad se podele ovi brojevi sve se lepo dobije

Koja je onda vrednost izraza [inlmath]b=\frac{\sin 2}{\sin 3}[/inlmath], nije mi jasno zbog deljenja s nulom?

Pa, nije to baš nula. Mita ga malo pretera kad je reko da teži nuli, ne teži nuli, jer to ipak nije [inlmath]\sin\pi[/inlmath] već [inlmath]\sin 3[/inlmath], ali jeste bliže nuli od ovih ostalih sinusa. Znači, ne delimo nulom, već delimo vrednošću koja je relativno mala, pa time dobijamo relativno veliku vrednost.

Aha, ali kako u opste moze da se [inlmath]\sin 1[/inlmath] posmatra kao [inlmath]\sin \frac{\pi}{3}[/inlmath], kada je [inlmath]\sin \frac{\pi}{3}[/inlmath] ustvari [inlmath]\sin 60[/inlmath]. To je malo zbunjujuce, gledao sam i na trigonometrijskom krugu i ne razumem.