MATEMANIJA

Kako da odradim zadatak kad mi nije dato u kom intervalu su uglovi?

12. Ako je [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha=\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{tg}\:\beta=-\frac{1}{3}[/inlmath], tada je izraz [inlmath]\frac{\sin\alpha+\sin\left(\alpha-2\beta\right)}{\cos\alpha+\cos\left(\alpha-2\beta\right)}[/inlmath] jednak:
[inlmath](A)\;\frac{1}{7}\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;\frac{1}{6}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)}\;1\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;2\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;\frac{1}{5}\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]


Kako se u opste radi ovaj zadatak?

19. Dati su brojevi [inlmath]a=\frac{\sin 1}{\sin 2}[/inlmath], [inlmath]b=\frac{\sin 2}{\sin 3}[/inlmath] i [inlmath]c=\frac{\sin 3}{\sin 4}[/inlmath]. Tada je:
[inlmath](A)\;a<b<c\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;c<b<a\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)}\;c<a<b\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;b<a<c\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;a<c<b\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

maxaa je napisao:Kako da odradim zadatak kad mi nije dato u kom intervalu su uglovi?

12. Ako je [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha=\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{tg}\:\beta=-\frac{1}{3}[/inlmath], tada je izraz [inlmath]\frac{\sin\alpha+\sin\left(\alpha-2\beta\right)}{\cos\alpha+\cos\left(\alpha-2\beta\right)}[/inlmath] jednak:
[inlmath](A)\;\frac{1}{7}\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;\frac{1}{6}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)}\;1\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;2\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;\frac{1}{5}\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

[dispmath]\frac{\sin\alpha+\sin\left(\alpha-2\beta\right)}{\cos\alpha+\cos\left(\alpha-2\beta\right)}=\frac{\cancel 2\sin\left(\alpha-\beta\right)\cancel{\cos\beta}}{\cancel 2\cos\left(\alpha-\beta\right)\cancel{\cos\beta}}=\mathrm{tg}\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\mathrm{tg\alpha-\mathrm{tg}\beta}}{1+\mathrm{tg}\alpha\mathrm{tg}\beta}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\frac{1}{3}}=\frac{3+2}{6-1}=1[/dispmath]

Pola sata blenem u zadatak ko tele, ne mogu da izvalim da je ustvari primenjena formula za [inlmath]\sin\alpha+\sin\beta[/inlmath], totalnno sam zaboravio na tu formulu. Hvala!

maxaa je napisao:Kako se u opste radi ovaj zadatak?

19. Dati su brojevi [inlmath]a=\frac{\sin 1}{\sin 2}[/inlmath], [inlmath]b=\frac{\sin 2}{\sin 3}[/inlmath] i [inlmath]c=\frac{\sin 3}{\sin 4}[/inlmath]. Tada je:
[inlmath](A)\;a<b<c\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;c<b<a\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(C)}\;c<a<b\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;b<a<c\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;a<c<b\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

[dispmath]a=\frac{\sin 1}{\sin 2},\quad b=\frac{\sin 2}{\sin 3}\quad c=\frac{\sin 3}{\sin 4}[/dispmath]
[dispmath]a-b=\frac{\sin 1}{\sin 2}-\frac{\sin 2}{\sin 3}=\frac{\sin 1\sin 3-\sin^2 2}{\sin 2\sin 3}=\frac{-\frac{1}{2}\left(\cos 4-\cos 2\right)-\sin^2 2}{\sin 2\sin 3}[/dispmath]
[dispmath]a-b=\frac{-\frac{1}{2}\left(\cos^2 2-\sin^2 2\right)+\frac{1}{2}\cos 2-\sin^2 2}{\sin 2\sin 3}=\frac{-\frac{1}{2}\cos^2 2+\frac{1}{2}\sin^2 2+\frac{1}2{\cos 2-\sin^2 2}}{\sin 2\sin 3}[/dispmath]
[dispmath]a-b=\frac{\cancelto{-\frac{1}{2}}{\enclose{circle}{-\frac{1}{2}\cos^2 2-\frac{1}{2}\sin^2 2}}+\frac{1}{2}\cos 2}{\sin 2\sin 3}=\frac{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2}{\sin 2\sin 3}=\frac{\cos 2-1}{2\sin 2\sin 3}[/dispmath]
[dispmath]\left.\begin{array}{ll}
\cos 2<1\quad\Rightarrow\quad\cos 2-1<0 \\
\sin 2>0,\quad\sin 3>0
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\frac{\cos 2-1}{2\sin 2\sin 3}<0\quad\Rightarrow\quad a-b<0\quad\Rightarrow\quad a<b[/dispmath]
I sad na sličan način uporediti i [inlmath]a[/inlmath] sa [inlmath]c[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] sa [inlmath]c[/inlmath]...

Sto se tice ovog drugog zadatka, ja sam ga radio vise na pogadjanje i ispalo je isto
[inlmath]\sin 1[/inlmath] sam posmatrao kao [inlmath]\sin\frac{\pi}{3}[/inlmath], dakle tezi [inlmath]\frac{\sqrt{3}}{2}[/inlmath].
[inlmath]\sin 2[/inlmath] sam posmatrao kao [inlmath]\sin\frac{2\pi}{3}[/inlmath], tezi [inlmath]\frac{\sqrt{3}}{2}[/inlmath]
[inlmath]\sin 3[/inlmath] kao [inlmath]\sin\pi[/inlmath], tezi nuli.
I [inlmath]\sin 4[/inlmath] kao [inlmath]\sin\frac{4\pi}{3}[/inlmath], tezi [inlmath]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/inlmath]
I posle kad se podele ovi brojevi sve se lepo dobije

Zanimljiva ideja. A i sasvim ispravna. I praktična.

E divota, da uradim i ja nesto na laksi nacin hahahaha

_Mita je napisao:Sto se tice ovog drugog zadatka, ja sam ga radio vise na pogadjanje i ispalo je isto
[inlmath]\sin 1[/inlmath] sam posmatrao kao [inlmath]\sin\frac{\pi}{3}[/inlmath], dakle tezi [inlmath]\frac{\sqrt{3}}{2}[/inlmath].
[inlmath]\sin 2[/inlmath] sam posmatrao kao [inlmath]\sin\frac{2\pi}{3}[/inlmath], tezi [inlmath]\frac{\sqrt{3}}{2}[/inlmath]
[inlmath]\sin 3[/inlmath] kao [inlmath]\sin\pi[/inlmath], tezi nuli.
I [inlmath]\sin 4[/inlmath] kao [inlmath]\sin\frac{4\pi}{3}[/inlmath], tezi [inlmath]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/inlmath]
I posle kad se podele ovi brojevi sve se lepo dobije

Koja je onda vrednost izraza [inlmath]b=\frac{\sin 2}{\sin 3}[/inlmath], nije mi jasno zbog deljenja s nulom?

Pa, nije to baš nula. Mita ga malo pretera kad je reko da teži nuli, ne teži nuli, jer to ipak nije [inlmath]\sin\pi[/inlmath] već [inlmath]\sin 3[/inlmath], ali jeste bliže nuli od ovih ostalih sinusa. Znači, ne delimo nulom, već delimo vrednošću koja je relativno mala, pa time dobijamo relativno veliku vrednost.

Aha, ali kako u opste moze da se [inlmath]\sin 1[/inlmath] posmatra kao [inlmath]\sin \frac{\pi}{3}[/inlmath], kada je [inlmath]\sin \frac{\pi}{3}[/inlmath] ustvari [inlmath]\sin 60[/inlmath]. To je malo zbunjujuce, gledao sam i na trigonometrijskom krugu i ne razumem.

Ne, zaboravi ovde na stepene. Da je u stepenima, onda bi pisalo [inlmath]\sin 1^\circ[/inlmath], [inlmath]\sin 2^\circ[/inlmath] i [inlmath]\sin 3^\circ[/inlmath]. A kad ne pišu stepeni, kao što ovde ne pišu, onda se podrazumevaju radijani. E sad, pošto je [inlmath]\pi\approx 3[/inlmath], Mita je aproksimirao [inlmath]\sin 1[/inlmath] sa [inlmath]\sin\frac{\pi}{3}[/inlmath], [inlmath]\sin 2[/inlmath] sa [inlmath]\sin\frac{2\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\sin\pi[/inlmath] sa [inlmath]\sin 3[/inlmath].

P.S. U sklopu ove priče, [inlmath]\sin\frac{\pi}{3}[/inlmath] nije [inlmath]\sin 60[/inlmath], već [inlmath]\sin 60^\circ[/inlmath].

Aha, daaa ja sam sve mislio da su upitanju stepeni kod ovih brojeva [inlmath]a[/inlmath],[inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]. Hvala!

[inlmath]\pi[/inlmath] je [inlmath]3.14[/inlmath] i to je predstavljeno u radijanima, pola kruga ti je [inlmath]\pi[/inlmath], a to je [inlmath]180[/inlmath] stepeni. Znaci moras da razlikujes [inlmath]1[/inlmath] stepen i [inlmath]1[/inlmath] radijan

EDIT:
Ispala, nisam video da je odgovoreno

Jasan mi je odgovor sve do poslednjeg reda

Daniel je napisao:[dispmath]\left.\begin{array}{ll}
\cos 2<1\quad\Rightarrow\quad\cos 2-1<0 \\
\sin 2>0,\quad\sin 3>0
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\frac{\cos 2-1}{2\sin 2\sin 3}<0\quad\Rightarrow\quad a-b<0\quad\Rightarrow\quad a<b[/dispmath]

gde se stavlja ovo da je kosinus manji od [inlmath]1[/inlmath], sinus veci od [inlmath]0[/inlmath]. To mi nije jasno kako je postavljeno, pa ako bi neko mogao da mi pojasni.

Za kosinus znamo da je uvek [inlmath]\le1[/inlmath]. Za [inlmath]\cos2[/inlmath] znamo da nije jednak [inlmath]1[/inlmath], jer je kosinus nekog ugla jednak jedinici samo onda kada je taj ugao jednak [inlmath]2k\pi[/inlmath], a dvojka nije jednaka [inlmath]2k\pi[/inlmath] ni za jedno [inlmath]k[/inlmath]. Prema tome, [inlmath]\cos2[/inlmath] mora biti strogo manje od [inlmath]1[/inlmath].

Sinus nekog ugla je pozitivan onda kada se taj ugao nalazi u intervalu [inlmath]\left(2k\pi,\;\pi+2k\pi\right)[/inlmath]. Brojevi [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] nalaze se u tom intervalu, za [inlmath]k=0[/inlmath] (tj. u intervalu [inlmath]\left(0,\pi\right)[/inlmath]). Prema tome, [inlmath]\sin2[/inlmath] i [inlmath]\sin3[/inlmath] su strogo veći od nule.

Samo kako je sad citav izraz manji od nule?

Zato što u brojiocu imamo izraz manji od nule, a u imeniocu imamo izraz veći od nule (jer u imeniocu imamo proizvod tri pozitivna broja – proizvod dvojke i dva pozitivna sinusa), pa je otuda vrednost celog razlomka negativna. Dakle, deljenjem negativnog broja pozitivnim dobijamo negativni broj, logično?

Ili, u opštem slučaju, kad imamo razlomak
[dispmath]\frac{a_1a_2\cdots a_{m-1}a_m}{a_{m+1}a_{m+2}\cdots a_{n-1}a_n}[/dispmath]
tada će vrednost razlomka biti pozitivna ako je broj negativnih činilaca paran, dok će vrednost razlomka biti negativna ako je broj negativnih činilaca neparan.

U našem konkretnom zadatku imali smo u razlomku jedan negativan činilac, [inlmath]\cos2-1[/inlmath], dok su ostali činioci pozitivni, dakle, vrednost razlomka je negativna.