MATEMANIJA

Pozdrav matemanijaci! Srećna Nova godina! Izgleda da je meni pripala cast da otvorim jos jednu uspesnu godinu matematiranja.
Zadatak glasi: Resiti nejednacinu
[dispmath]|\sin x|>|\cos x|[/dispmath] Prvi put se suocavam sa zadacima ovog tipa (nejednacina sa apsolutnim zagradama). Ne znam kako da pocnem zadatak tj. kako da se oslobodim apsolutnih zagrada. Treba mi samo taj pocetni deo, dalje cu sam.
Hvala unpared!

[dispmath]\left\vert\sin x\right\vert=
\begin{cases}
~~~\sin x, & 2n\pi\le x\le(2n+1)\pi, & n\in\mathbb{Z}\\
-\sin x, & (2n-1)\pi<x<2n\pi, & n\in\mathbb{Z}
\end{cases}[/dispmath][dispmath]\left\vert\cos x\right\vert=
\begin{cases}
~~~\cos x, & \left(2n-\frac{1}{2}\right)\pi\le x\le\left(2n+\frac{1}{2}\right)\pi, & n\in\mathbb{Z}\\
-\cos x, & \left(2n+\frac{1}{2}\right)\pi<x<\left(2n+\frac{3}{2}\right)\pi, & n\in\mathbb{Z}
\end{cases}[/dispmath]

Ako primetimo da vazi [inlmath]|a|>|b|\iff a^2>b^2[/inlmath], onda se da lakse resiti verujem.

Postoji još jedan način (mada manje elegantan nego Onomatopejin), to je da uočimo da [inlmath]|\cos x|[/inlmath] može biti ili nula ili pozitivan. Ako je nula, nejednačina je zadovoljena (jer sinus i kosinus ne mogu istovremeno biti nule) i time dolazimo do jednog skupa rešenja. Ako nije nula, možemo obe strane podeliti sa [inlmath]|\cos x|[/inlmath] (pošto je pozitivan, smer znaka nejednakosti se ne menja), čime dobijamo [inlmath]|\text{tg }x|>1[/inlmath], tj. [inlmath]\text{tg }x<-1\;\lor\;\text{tg }x>1[/inlmath].

@Frank, čestitam na prvom forumskom postu u ovoj godini, i pridružujem se novogodišnjim čestitkama.

Hvala svima, zadatak je resen. Zadatak sam resio na Onomatopejin nacin jer je najbrzi i najelegantniji, mada i Danielov je vrlo praktican.
Ne bi bilo lose da znam da uradim i na nacin koji je @primus pokazao. Nemam ideju kako bih povezao ova dva tj. cetiri slucaja koja je primus napisao. Da je u zadatku dat dodatni "slobodan clan" (ne nalazi se unutar apsolutnih zagrada) onda bih morao raditi na primusov nacin (barem ja tako mislim).
Na primer:
[dispmath]|\sin x|>|\cos x|-\frac{1}{2}[/dispmath]

Ako želiš da dobiješ „lepe“ vrednosti (tj. da dobiješ vrednosti karakterističnih uglova kako se ne bi petljao s arkusima), onda bolje [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] zameni sa [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], dakle:
[dispmath]|\sin x|>|\cos x|-\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath] I onda radiš za svaki od četiri moguća slučaja:

1. [inlmath]\sin x\ge0\;\land\;\cos x\ge0[/inlmath] ([inlmath]I[/inlmath] kvadrant)
2. [inlmath]\sin x\ge0\;\land\;\cos x<0[/inlmath] ([inlmath]II[/inlmath] kvadrant)
3. [inlmath]\sin x<0\;\land\;\cos x<0[/inlmath] ([inlmath]III[/inlmath] kvadrant)
4. [inlmath]\sin x<0\;\land\;\cos x\ge0[/inlmath] ([inlmath]IV[/inlmath] kvadrant)

Kada je po uslovu [inlmath]\sin x\ge0[/inlmath] tada [inlmath]|\sin x|[/inlmath] zameniš sa [inlmath]\sin x[/inlmath], a kada je po uslovu [inlmath]\sin x<0[/inlmath] tada [inlmath]|\sin x|[/inlmath] zameniš sa [inlmath]-\sin x[/inlmath]. Slično i za kosinus.

Na kraju, naravno, nađeš uniju dobijenih rešenja.

Aha, a da li je dozovoljeno da se [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] prebaci na levu stranu (kako bismo bili sigurni da su obe strane pozitivne), a potom kvadrirali celu nejednacinu. Ovo je neko moje logicko razmisljanje, pa nisam siguran da li je ispravno. Na ovaj nacin sam radio eksponencijalnu jednacinu i dobio sam tacna resenja, pa me zanima da li je to cista slucajnost ili ne. Sva resenja koja se dobiju posle kvadriranja se uzimaju u obzir (svakako ce obe strane biti pozitivne kad se oslobodimo apsolutnih zagrada).

Dozvoljeno jeste, samo je drugo pitanje hoće li to dovesti do rešenja. Jesi li pokušao?

Jesam, al' slabe vajde.
[dispmath]|\sin x|+\frac{\sqrt2}{2}>|\cos x|\hspace{5mm}/^2[/dispmath][dispmath]\sin^2x+\cancel2\frac{\sqrt2}{\cancel2}\sin x+\frac{\cancel2}{\cancel4}>\cos^2x[/dispmath][dispmath]\sin^2x+\sqrt2\sin x+\frac{1}{2}>1-\sin^2x[/dispmath][dispmath]2\sin^2x+\sqrt2\sin x-\frac{1}{2}>0[/dispmath][dispmath]\sin x_{1/2}=\frac{-\sqrt2\pm\sqrt6}{4}[/dispmath] Dalje nemam ideju. [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] sam dodao iz glave, kako bih naveo primer, tako da nisam siguran koliko je ovaj zadatak pogodan za resavanje.
Izgleda da nisam bio dovoljno konkretan. Moje pitanje se odnosilo na uopsten slucaj. Kada imamo nejednacinu (ili jednacinu) tipa
[dispmath]|a|+5>|b|[/dispmath] (posto smo sigurni da su obe strane pozitivne) da li smemo da napisemo kao
[dispmath]a+5>b\hspace{5mm}/^2[/dispmath] Sva resenja/skupovi resenja dolaze u obzir jer ce svakako biti pozitivna zbog apsolutnih zagrada.
Kao sto sam vec rekao, na ovaj nacin sam radio jednu eksponencijalnu jednacinu i dobio sam tacna resenja, pa me zanima da li je to cista slucajnost ili je postupak ipak ispravan.

Kao što rekoh, smemo. Funkcija [inlmath]f(x)=x^2[/inlmath] je monotono rastuća za pozitivne vrednosti [inlmath]x[/inlmath], tako da se kvadriranjem obe strane ne narušava smer znaka nejednakosti onda kada su obe strane pozitivne (ili, bolje reći, nenegativne, jer mogu biti i nula).
Ipak, od konkretnog zadatka zavisi hoće li to biti pravi put ka rešenju, ili je potrebno primeniti neki drugi način.

Vodi samo računa o sledećem:

Frank je napisao:[dispmath]|\sin x|+\frac{\sqrt2}{2}>|\cos x|\hspace{5mm}/^2[/dispmath][dispmath]\sin^2x+\cancel2\frac{\sqrt2}{\cancel2}{\color{red}\sin x}+\frac{\cancel2}{\cancel4}>\cos^2x[/dispmath]

Umesto crveno obeleženog [inlmath]\sin x[/inlmath] treba da stoji [inlmath]|\sin x|[/inlmath]. Kvadrirao si binom kod kojeg je prvi član jednak [inlmath]|\sin x|[/inlmath], a ne [inlmath]\sin x[/inlmath]. Kada, po formuli za kvadrat binoma, taj prvi član kvadriraš, on će biti [inlmath]|\sin x|^2[/inlmath], a to je isto što i [inlmath]\sin^2x[/inlmath], tako da tada ne moramo pisati apsolutne zagrade. Međutim, kada ga množiš dvojkom i drugim članom, onda nema nikakvog opravdanja za oslobađanje od apsolutnih zagrada, tako da tada moramo pisati [inlmath]2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot|\sin x|[/inlmath].
Na kraju rešavaš kvadratnu jednačinu po [inlmath]|\sin x|[/inlmath], a ne po [inlmath]\sin x[/inlmath]. Naravno, odbaciš negativno rešenje ukoliko ga eventualno dobiješ.

Frank je napisao:[dispmath]|a|+5>|b|[/dispmath] (posto smo sigurni da su obe strane pozitivne) da li smemo da napisemo kao
[dispmath]a+5>b\hspace{5mm}/^2[/dispmath]

Ista primedba – ne smeš se oslobađati apsolutnih zagrada pre kvadriranja. Nejednačina [inlmath]a+5>b[/inlmath], nakon kvadriranja, glasila bi [inlmath]a^2+10{\color{red}a}+25>b^2[/inlmath], što je pogrešno. Kvadriranjem početne nejednačine [inlmath]|a|+5>|b|[/inlmath] treba da se dobije [inlmath]a^2+10{\color{red}|a|}+25>b^2[/inlmath].
To što u zadatoj nejednačini figurišu [inlmath]|a|[/inlmath] i [inlmath]|b|[/inlmath] koji su nenegativni, ne znači da sami [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] ne mogu biti negativni – možda je to ono što tebe buni.