MATEMANIJA

Zadatak ide ovako: Rešiti jednačinu [inlmath]\sin^4x+\cos^4x=\cos4x[/inlmath]?

Ja sam ga rešio na sledeći način:
[dispmath]\sin^4x+\cos^4x=\cos4x\\
\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2-2\sin^2xcos^2x=\cos4x\\
1-2\sin^2x\cos^2x=\cos^22x-\sin^22x\\
1-2\sin^2x\cos^2x=\left(\cos^2x-\sin^2x\right)^2-(2\sin x\cos x)^2\\
-2\sin^2x\left(1-\sin^2x\right)-\left(1-2\sin^2x\right)^2+(2\sin x\cos x)^2[/dispmath] i onda tako dok ne isproširuješ i na kraju dobijaš
[dispmath]2\sin^2x-2\sin^4x+4\sin^2x\cos^2x=0[/dispmath] Onda imamo da je
[dispmath]\sin^2x=0[/dispmath] ili
[dispmath]\cos^2x=0[/dispmath] I kao krajna rešenja dobijamo da je
[dispmath]x=k\pi,\quad x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath] ili
[dispmath]x=\frac{k\pi}{2}[/dispmath]

U redu. Imam par pitanja, naravno ako to nije problem.
Imam problem već u prvom redu. Ti si [inlmath]\sin^4x+\cos^4x[/inlmath] posle napisao kao [inlmath]\left(\sin^2x+\cos^2x\right)-2\sin^2x\cos^2x[/inlmath]. Meni nije jasno kako se to desilo, pa ako može postepeno, ili je to neka formula za koju ne znam.

Za to sada, pa ću posle pitati ostala pitanja. Hvala ti!

Upotrebio sam kvadrat binoma [inlmath]\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2[/inlmath], a da bi izraz [inlmath]\sin^4x+\cos^4x[/inlmath] bio tačan moramo ga oduzeti sa [inlmath]-2ab[/inlmath] po formuli za kvadrat binoma, a to je [inlmath]−2\sin x\cos x[/inlmath]

Umesto [inlmath]\left(\sin^2x+\cos^2x\right)-2\sin^2x\cos^2x[/inlmath] treba da stoji [inlmath]\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2-2\sin^2x\cos^2x[/inlmath] (zaboravio si [inlmath]2[/inlmath] u eksponentu posle zagrade). Ono sto je Maxim123 uradio je sledece: Levoj strani je dodao i oduzeo [inlmath]2\sin^2x\cos^2x[/inlmath] (samim tim nije promenio pocetni oblik jednacine), da bi namestio na kvadrat binoma (a videces i zasto bas to). To izgleda ovako:
[dispmath]\underbrace{\left(\sin^2x\right)^2+\left(\cos^2x\right)^2+2\sin^2x\cos^2x}_{\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2=1^2=1}-2\sin^2x\cos^2x=\cos4x[/dispmath] Nadam se da ti je sada jasno.

O hvala vam sad razumem. Evo još jednog pitanja u ovom koraku: [inlmath]-2\sin^2x\left(1-\sin^2x\right)-\left(1-2\sin^2x\right)^2+(2\sin x\cos x)^2[/inlmath].
Razumem deo koji se nalazio desno od jednako, pa je on sada prešao na levu stranu, ali zbunjuje me ovo što je već bilo na levoj.
Vidim da smo izvukli [inlmath]-2\sin^2x[/inlmath], ali ne vidim odakle.

Hvala unapred. Nadam se da ne smaram, inače bih pitao profesora, ali zbog ovog stanja u kome se nalazi cela država nemam koga da pitam.

[dispmath]−2\sin^2x\left(1−\sin^2x\right)=\left(1−2\sin^2x\right)^2+(2\sin x\cos x)^2[/dispmath] Nismo prebacili već je tu jednako, moja greška u pisanju

E u redu, samo i dalje ne shvatam šta se desilo sa leve strane

Zamolio bih vas da pisete [inlmath]\sin^2x[/inlmath], a ne [inlmath]\sin(x)^2/sin(x)^2[/inlmath]. Ovaj kvadrat se odnosi na ceo sinus, a ne samo na ugao. Ovolike zagrade su skroz nepotrebne, samo bodu oci i oduzimaju vam dragoceno vreme. Bez njih post bi bio neuporedivo pregledniji.

Maxim123 je napisao:[dispmath]2\sin^2x-2\sin^4x+4\sin^2x\cos^2x=0[/dispmath]

Ja sam ovako nastavio, inače zaboravio si [inlmath]1[/inlmath] levo da napišeš. Ovako ide:
[dispmath]2\sin^2x-2\sin^4x+4\sin^2x\left(1-\sin^2x\right)=0\\
2\sin^2x-2\sin^4x+4\sin^2x-4\sin^4x=0\\
6\sin^2x\left(1-\sin^2x\right)=0\\
\sin^2x=0\quad\lor\quad1-\sin^2x=0\\
x=k\pi,\quad x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath] E sad moje pitanje je kako se od ta dva odgovora dobije [inlmath]x=\frac{k\pi}{2}[/inlmath].

Hvala unapred.

Zamisli trigonometrijsku kruznicu ili je nacrtaj. Potom na njoj odredi gde se nalaze resenja jednacine, [inlmath]x=k\pi[/inlmath] odnosno [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath]. Ako to uradis kako treba mozes primetiti da se resenja ponavljaju posle svake cetvrtine kruznice tj. posle [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]. U sustini oba nacina zapisivanja resenja jednacine su matematicki korektna, samo je ovo drugo ([inlmath]x=\frac{k\pi}{2}[/inlmath]) napisano elegantnije.
Ako ti je lakse, [inlmath]x=\frac{k\pi}{2}[/inlmath] posmatraj kao uniju [inlmath]x=k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath].

Frank je napisao:Zamolio bih vas da pisete [inlmath]\sin^2x[/inlmath], a ne [inlmath]\sin(x)^2/sin(x)^2[/inlmath]. Ovaj kvadrat se odnosi na ceo sinus, a ne samo na ugao. Ovolike zagrade su skroz nepotrebene, samo bodu oci i oduzimaju vam dragoceno vreme. Bez njih post bi bio neuporedivo pregledniji.

Apsolutno. Poispravljao sam sve to, kako bih uopšte mogao da pratim postupke.

Zadatak je, po meni, dosta jednostavnije uraditi preko polovine uglova:
[dispmath]\sin^4x+\cos^4x=\cos4x\\
\left(\frac{1-\cos2x}{2}\right)^2+\left(\frac{1+\cos2x}{2}\right)^2=2\cos^22x-1\\
\vdots[/dispmath]

miljan1403 je napisao:inače bih pitao profesora, ali zbog ovog stanja u kome se nalazi cela država nemam koga da pitam.

Eh, da je samo cela država... Ceo svet...

Nemoj ubuduće zaobilaziti tačku 6. Pravilnika, moliću (mislim na uvodni post).

miljan1403 je napisao:E sad moje pitanje je kako se od ta dva odgovora dobije [inlmath]x=\frac{k\pi}{2}[/inlmath].
Hvala unapred.

Shvatio sam kako se radi, hvala svima.