MATEMANIJA

Zdravo! Imam problema sa trigonometrijskom nejednačinom jer ih nikada nismo radili u školi, i ne uspevam da pronađem nikakav dobar materijal da mi to pojasni. Pa evo da pitam. To jest ustvari radili smo, ali samo neke osnovne zadatke.
Evo zadatka: Rešite nejednačinu [inlmath]\sin x-\sqrt3\sin3x+\sin5x<0[/inlmath].
Ja sam krenuo ovako:
[dispmath]-\sqrt3\sin3x+2\sin3x\cos2x<0[/dispmath][dispmath]\sin3x\left(2\cos2x-\sqrt3\right)<0[/dispmath] I sada šta dalje? Koje uslove da postavim?
Hvala unapred na odgovoru.

Kada ce proizvod dva broja biti strogo manji od nule? Iz ovog zaključujes da ces u ovom zadatku imati dva slučaja:
Prvi: Kada je prvi činilac strogo veci od nule, a drugi činilac strogo manji od nule.
Drugi: Kada je prvi činilac strogo manji od nule, a drugi strogo veci od nule.
Kako je disjunkcija u pitanju, unija prvog i drugog slučaja ce dati konačno rešenje zadatka.

To sam i mislio da se radi, ali kako se radi to dobijanje rešenja kada je u pitanju trigonometrija, ajmo da uzemo samo prvi slučaj:
[dispmath]\sin3x>0\quad\land\quad2\cos2x-\sqrt3<0[/dispmath][dispmath]3x=k\pi\quad\land\quad\cos2x=\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath][dispmath]x=\frac{k\pi}{3}\quad\land\quad x=\pm\frac{\pi}{12}+k\pi[/dispmath] I sada ako se ne varam rešenja ova dva su:
[dispmath]x\in\left(\frac{k\pi}{3},\;\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{3}\right)\quad\land\quad x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\;-\frac{\pi}{12}+k\pi\right)[/dispmath] Da li je ovo tačno? A ako jeste kako napisati jedno rešenja od njega?

Nije mi jasno kako u zadatku u kojem se trazi rešenja nejednačine ti rešavas jednačinu? Preporučujem ti da, pri rešavanju trigonometrijskih nejednačina, nacrtas kriznicu i sa nje čitaš rešenja.
Evo, na primer, da odredimo kada je [inlmath]\sin3x>0[/inlmath]. Sa trigonometrijske kruznice mozes zaključiti da je [inlmath]\frac{\pi}{2}+2k\pi<3x<2k\pi[/inlmath]. Deljenjem cele nejednakosti sa [inlmath]3[/inlmath] dobijaš interval za [inlmath]x[/inlmath] za koji vazi [inlmath]\sin3x>0[/inlmath]. Slično i za ostale slučajeve. Budi oprezan kada odredjuješ preseke intervala u prvom i drugom slučaju.

Okej, ja sam tražio granične vrednosti, pa sam onda sa slike pisao interval, tako su me naučili XD Sada sam uradio kao ti, i dobio sam:
[dispmath]\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}<x<\frac{2k\pi}{3}\right)\quad\land\quad\left(\frac{\pi}{12}+k\pi<x<\frac{11\pi}{12}+k\pi\right)[/dispmath] I sada se traži presek, zar ne? Ali ja to ne znam kako da uradim, pa ako možeš da mi objasniš.

Nije ni meni najasniji zapis rešenja (zbog periodičnosti funkcije), tako da najbolje da nam obojici objasni neko treci.
Imas grešku u zapisu rešenja, bas kao i ja. Verujem da ces i sam primetiti grešku (pogledaj malo bolje kako si okrenuo znakove nejednakosti).

miljan1403 je napisao:[dispmath]{\color{red}\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}<x<\frac{2k\pi}{3}\right)}\quad\land\quad{\color{green}\left(\frac{\pi}{12}+k\pi<x<\frac{11\pi}{12}+k\pi\right)}[/dispmath]

Ovo crveno je pogrešno zapisano, a zeleno je ispravno.
Iz zapisa [inlmath]\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}<x<\frac{2k\pi}{3}[/inlmath] sledilo bi da je [inlmath]\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}<\frac{2k\pi}{3}[/inlmath], što se odmah vidi da ne može biti tačno.
Osim toga, ne vidim kako se uopšte tu pojavio sabirak [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath]?

[inlmath]\frac{\pi}{12}+k\pi<x<\frac{11\pi}{12}+k\pi[/inlmath] jeste tačan zapis i tačno rešenje nejednačine [inlmath]\cos2x<\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath]. Nije bio tačan onaj oblik zapisa koji si prvobitno napisao, [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\;-\frac{\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath], jer bi, kao što malopre rekoh, leva granica intervala bila veća od desne, što je nemoguće.

Dakle, kad uočite da vam je u zapisu desna granica manja od leve, onda je potrebno desnoj granici dodati najmanji potreban broj perioda da ona postane veća od leve granice. Znači, u primeru [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\;-\frac{\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath], pošto je desna granica manja od leve, dodajemo joj jednu periodu ([inlmath]\pi[/inlmath]) i proverimo – sada je desna granica postala [inlmath]\frac{11\pi}{12}+k\pi[/inlmath] i veća je od leve, čime smo dobili ispravan zapis. Pogrešno bi samo bilo dodati veći broj perioda od potrebnog, jer bismo time kao rešenje dobili i neke vrednosti unutar jedne periode koje ne spadaju u rešenje.

Umesto ovoga, mogli smo i od leve granice oduzeti najmanji potreban broj perioda da bi ona postala manja od desne granice. Dobili bismo [inlmath]x\in\left(-\frac{11\pi}{12}+k\pi,\;-\frac{\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath], što je potpuno isti skup rešenja kao i [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath], zbog periodičnosti, tj. zbog sabirka [inlmath]k\pi[/inlmath].

A da se uopšte ne bi ni desilo da u zapisu dobijete desnu granicu manju od leve, onda prilikom očitavanja trigonometrijske kružnice treba uvek ići u smeru CCW (suprotno kazaljci sata). I kažemo, [inlmath]\cos2x<\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], znači, to počinje da važi počev od [inlmath]2x>\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath], idemo dalje kružnicom u CCW smeru, prođemo [inlmath]2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], prođemo [inlmath]2x=\pi+2k\pi[/inlmath], prođemo [inlmath]2x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], čime na kraju stižemo do [inlmath]2x<\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]. Znači, ne do [inlmath]2x<-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] (do kog bismo stigli da smo išli u smeru kazaljke sata), već do [inlmath]2x<\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/inlmath], tj. fali nam još [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] do punog kruga, tj. do [inlmath]2\pi[/inlmath].

miljan1403 je napisao:I sada se traži presek, zar ne? Ali ja to ne znam kako da uradim, pa ako možeš da mi objasniš.

Rešenje nejednačine [inlmath]\sin3x>0[/inlmath] je [inlmath]x\in\left(\frac{2k\pi}{3},\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}\right)[/inlmath], a rešenje nejednačine [inlmath]\cos2x<\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] je [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath] kako si i napisao. Ucrtavamo to u trigonometrijsku kružnicu. Na sledećoj slici u prvu kružnicu sam ucrtao rešenje [inlmath]x\in\left(\frac{2k\pi}{3},\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}\right)[/inlmath] (plavo), a u drugu [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath] (žuto).


Pošto imamo konjunkciju, tj. tražimo presek ovih rešenja, posmatramo na kojim intervalima će se obeležene površine prve i druge kružnice preklopiti. Njih sam u trećoj kružnici označio zelenom bojom i one predstavljaju vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje će konjunkcija biti zadovoljena.
Sad treba isto to uraditi i za onu drugu konjunkciju, a zatim naći uniju rešenja jedne i druge konjunkcije (pri čemu ćemo na trigonometrijskim kružnicama posmatrati ne preseke površina kao sada, već njihovu uniju, logično).

Hvala ti puno na ovako lepom objašnjenju. Mislim da si uspeo da mi objasniš, samo evo da proverimo. Da li je presek onda ova dva:
[dispmath]x\in\left(\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{2\pi}{3},\frac{11\pi}{12}\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right)[/dispmath] Ako sam uspeo, onda da nastavim da radim dalje. Inače video sam da u rešenju nema [inlmath]2k\pi,k\pi[/inlmath] pa nisam ni stavio u ovom preseku, da li je to okej?
P.S: Koji softver si koristio za pravljenje te slike?

miljan1403 je napisao:Da li je presek onda ova dva:
[dispmath]x\in\left(\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{2\pi}{3},\frac{11\pi}{12}\right)\cup\left(\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right)[/dispmath]

U imeniocu prvog razlomka treba da stoji [inlmath]12[/inlmath] umesto [inlmath]10[/inlmath]. Ostalo je OK, izuzev sabiraka za periodičnost, na šta se i odnosi sledeće tvoje pitanje:

miljan1403 je napisao:Inače video sam da u rešenju nema [inlmath]2k\pi,k\pi[/inlmath] pa nisam ni stavio u ovom preseku, da li je to okej?

Ako se u zadatku traže rešenja koja pripadaju određenom intervalu kao što je [inlmath](0,2\pi)[/inlmath], onda je okej. Ako ništa nije navedeno o intervalu rešenja onda nije okej – moraju se sva rešenja uzeti u obzir, a to znači i periodičnost.

miljan1403 je napisao:P.S: Koji softver si koristio za pravljenje te slike?

viewtopic.php?f=5&t=274&start=10

Ako se ne varam - presek rešenja na intervalu [inlmath][0,2\pi[/inlmath]] ce biti isti kao i na drugim intervalima? Sad kad bi po drugi put obišli trigonometrijsku kriznicu i osenčili rešenja nejednačine, te osenčene oblasti bi se preklapale sa osenčenim oblastima iz prvog obilaska oko kruznice (tj. intervala [inlmath][0,2\pi][/inlmath]?

Preklapale bi se, ali to ne bi bile iste vrednosti. Npr. [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{5\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{9\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]-\frac{3\pi}{2}[/inlmath] imaju isti položaj na trigonometrijskoj kružnici, ali su to sasvim različite vrednosti.

Da, da to svakako. Ja sam do sada mislio da se pri svakom novom krugu osenčene površine pomere za neki neodredjen ugao. Da se ne preklapaju tada je bismo mogli ni zapisati na '' lep'' način rešenje jednačine.
Svaka čast na ovakvom (reči su suvišne) objašnjenju! Hvala!

Hvala ti puno! A u slučaju kada je [inlmath]\cos2x>\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], kako to da zapišem?
Kao: [inlmath]\frac{11\pi}{6}+2k\pi<2x<\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]? Znam da ovo nije tačno jer nije moguće da [inlmath]\frac{11\pi}{6}[/inlmath] bude manje od [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath]
Attach sam sliku da vidite na šta mislim.

Eh, trudio sam se da budem što jasniji, al' izgleda da nisam u tome baš uspeo.

Daniel je napisao:Dakle, kad uočite da vam je u zapisu desna granica manja od leve, onda je potrebno desnoj granici dodati najmanji potreban broj perioda da ona postane veća od leve granice. Znači, u primeru [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\;-\frac{\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath], pošto je desna granica manja od leve, dodajemo joj jednu periodu ([inlmath]\pi[/inlmath]) i proverimo – sada je desna granica postala [inlmath]\frac{11\pi}{12}+k\pi[/inlmath] i veća je od leve, čime smo dobili ispravan zapis. Pogrešno bi samo bilo dodati veći broj perioda od potrebnog, jer bismo time kao rešenje dobili i neke vrednosti unutar jedne periode koje ne spadaju u rešenje.

Umesto ovoga, mogli smo i od leve granice oduzeti najmanji potreban broj perioda da bi ona postala manja od desne granice. Dobili bismo [inlmath]x\in\left(-\frac{11\pi}{12}+k\pi,\;-\frac{\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath], što je potpuno isti skup rešenja kao i [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath], zbog periodičnosti, tj. zbog sabirka [inlmath]k\pi[/inlmath].

A da se uopšte ne bi ni desilo da u zapisu dobijete desnu granicu manju od leve, onda prilikom očitavanja trigonometrijske kružnice treba uvek ići u smeru CCW (suprotno kazaljci sata). I kažemo, [inlmath]\cos2x<\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], znači, to počinje da važi počev od [inlmath]2x>\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath], idemo dalje kružnicom u CCW smeru, prođemo [inlmath]2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], prođemo [inlmath]2x=\pi+2k\pi[/inlmath], prođemo [inlmath]2x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], čime na kraju stižemo do [inlmath]2x<\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]. Znači, ne do [inlmath]2x<-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] (do kog bismo stigli da smo išli u smeru kazaljke sata), već do [inlmath]2x<\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/inlmath], tj. fali nam još [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] do punog kruga, tj. do [inlmath]2\pi[/inlmath].

Pitaj slobodno koji ti deo odavde nije jasan, pokušaću da ga dodatno pojasnim.

Dakle, za [inlmath]\cos2x>\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] pravilan zapis rešenja bio bi
[inlmath]-\frac{\pi}{6}+2k\pi<2x<\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]
ili
[inlmath]\frac{11\pi}{6}+2k\pi<2x<\frac{13\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]
ili još beskonačno mnogo načina, zbog periodičnosti.

Daniel je napisao:Eh, trudio sam se da budem što jasniji, al' izgleda da nisam u tome baš uspeo.

Uspeo sam da shvatim, nisi ti kriv, samo ja nisam inicijalno shvatio šta si hteo da kažeš. Hvala ti puno