MATEMANIJA

Pozdrav, potrebna mi je pomoć oko ovog zadatka, tačnije, ne znam kako da počnem zadatak:
Inače zadatak je sa prijemnog na ETF-u 27.6.2016 godine.
Zadatak glasi:
Ako je
[dispmath]\frac{\sin3x}{\sin x}=\frac{6}{5}[/dispmath] odrediti vrijednost
[dispmath]\frac{\sin5x}{\sin x}[/dispmath] E sada ja sam probao da [inlmath]\sin3x[/inlmath] zapisem kao [inlmath]-4\sin^3x+3\sin x[/inlmath] i da to uvrstim, ali i dalje nisam razumio.
Ako je neko imao sličan problem, pomoglo bi mi. Unaprijed Hvala!

Dobro si počeo. U brojiocu mozes da izvučeš [inlmath]\sin x[/inlmath] ispred zagrade, a potom kratis sa [inlmath]\sin x[/inlmath] u imeniocu. Sad mozes da uvedes smenu [inlmath]\sin^2x=t[/inlmath] (čisto radi lakšeg snalazenja), a potom odredis [inlmath]t[/inlmath].
[inlmath]\sin5x[/inlmath] zapises kao [inlmath]5\sin x-20\sin^3x+16\sin^5x[/inlmath] i uradiš isto kao i za [inlmath]\sin3x[/inlmath]. Mislim da ti dalje nece biti teško, ali ako zapne javi, tu smo.

Zamolio bih te da ubuduće uz postavku zadatka napišeš i rešenje.

Možemo i bez računanja [inlmath]\sin5x[/inlmath], ako primenimo transformaciju zbira [inlmath]\sin x+\sin5x[/inlmath], kvadrat kosinusa napišemo preko kvadrata sinusa, zatim izrazimo [inlmath]\sin5x[/inlmath] preko [inlmath]\sin x[/inlmath] i preko [inlmath]\sin3x[/inlmath]. Nakon toga možemo [inlmath]\displaystyle\frac{\sin5x}{\sin x}[/inlmath] izraziti preko [inlmath]\sin^2x[/inlmath], kao i preko poznatog odnosa [inlmath]\displaystyle\frac{\sin3x}{\sin x}[/inlmath]...

Frank je napisao:Zamolio bih te da ubuduće uz postavku zadatka napišeš i rešenje.

Ovo pod obavezno!

I, s kog je ETF-a ovaj zadatak (pretpostavljam ili s ETF-a u SA, ili u BL)?

Pozdrav, kao prvo, Hvala vam na brzim odgovorima.
Zadatak je sa Banjalučkog ETF-a, a riješenje bih i ja postavio, ali ga nemam, jer ga ni oni nisu postavili u njihovoj zbirci:
Pokušao sam prvi savjet:
[dispmath]\frac{-4\sin^3x+3\sin x}{\sin x}=\frac{6}{5}[/dispmath] Tu sam izvukao [inlmath]\sin x[/inlmath] i dobio:
[dispmath]\frac{\sin x\cdot\left(-4\sin^2x+3\right)}{\sin x}=\frac{6}{5}[/dispmath] dalje:
[dispmath]-4\sin^2x+3=\frac{6}{5}[/dispmath] Zamjenio sam [inlmath]\sin^2x=t[/inlmath]
Onda sam dobio:
[dispmath]-4t+3=\frac{6}{5}[/dispmath] Iz čega je
[dispmath]t=\frac{9}{20}[/dispmath] Onda sam izraz [inlmath]\frac{\sin5x}{\sin x}[/inlmath] uradio na isti način, samo sam napisao
[dispmath]\sin5x=5\sin x-20\sin^3x+16\sin^5x[/dispmath] i dobijam:
[dispmath]5-20\sin^2x+16\sin^4x[/dispmath] zamjenim [inlmath]\sin^2x=t[/inlmath] i dobijem
[dispmath]5-20t+16t^2[/dispmath] E sada, ako riješim ovo kao kvadratnu jednačinu ne dobijem cjelobrojno riješenje.
Ovdje nastaje problem, šta dalje?

---

Drugi savjet sam pogledao, ali mi nije baš jasan.. pa ako možete da mi malo detaljnije objasnite.
Unaprijed Hvala!

Srdjan01 je napisao:[dispmath]5-20t+16t^2[/dispmath] E sada, ako riješim ovo kao kvadratnu jednačinu ne dobijem cjelobrojno riješenje.
Ovdje nastaje problem, šta dalje?

Ne rešavaš to kao kvadratnu jednačinu. Već si izračunao koliko je [inlmath]t[/inlmath], dobio si da iznosi [inlmath]\displaystyle\frac{9}{20}[/inlmath]. Sad to samo uvrstiš u ovaj izraz koji si dobio, izračunaš i dobićeš konačan rezultat.

Srdjan01 je napisao:Drugi savjet sam pogledao, ali mi nije baš jasan.. pa ako možete da mi malo detaljnije objasnite.

Mislio sam ovako:
[dispmath]\sin x+\sin5x=2\sin3x\cos2x=2\sin3x\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=2\sin3x\left(1-2\sin^2x\right)\\
\Longrightarrow\quad\sin5x=2\sin3x\left(1-2\sin^2x\right)-\sin x\\
\Longrightarrow\quad\frac{\sin5x}{\sin x}=2\cdot\frac{\sin 3x}{\sin x}\left(1-2\sin^2x\right)-1[/dispmath] [inlmath]\displaystyle\frac{\sin 3x}{\sin x}[/inlmath] je poznato, [inlmath]\sin^2x[/inlmath] je poznato...

Kad kucaš u Latexu, piši \sin umesto sin. Razlika je u prikazu: [inlmath]\sin[/inlmath] i [inlmath]sin[/inlmath]. Takođe, umesto * za množenje, koristi se Latex-komanda \cdot, koja daje znak [inlmath]\cdot[/inlmath]

Hvala vam MNOGO. Uvažiću tvoje savjete pisanja u Latex-u . Relativno skoro sam otvorio nalog pa se još navikavam.

Nema na čemu!