MATEMANIJA

Da li može neko da mi objasni kako se određuje unija rešenja u trigonometrijskim jednačinama? Hvala unapred

Po pravilu to se radi skiciranjem jednog i drugog skupa rešenja na trigonometrijskoj kružnici, i onda uočavanjem kako ta rešenja mogu da se objedine.

Teško da ti možemo nešto preciznije reći ovako napamet, najbolje da postaviš konkretan zadatak koji te muči. Kao što i kaže tačka 11. Pravilnika.

[dispmath]\alpha=\frac{3\pi}{8}+k\pi\\
\alpha=\frac{5\pi}{8}+k\pi\\
\alpha=\frac{\pi}{8}+k\pi\\
\alpha=\frac{7\pi}{8}+k\pi[/dispmath] Je l postoji neka mogućnost da se unija nađe bez crtanja grafika jer se baš i ne snalazim najbolje na grafiku?

Mozes jednostavno da "napipas". Ova četiri rešenja koja si naveo mozes stopiti u jedno, [inlmath]\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}[/inlmath].
Ja ti preporučujem da rešenja zapisujes posmatrajuci kruznicu, jer ne znam koliko je "napipavanje" rešenja sigurno, pogotovo kod nekih tezih zadataka. Jednačine mozda i mogu da se rade "napipavanjem", ali nejednačine...
Po mom mišljenju, da bi bio dobar da u glavi nadjes uniju rešenja tj. "napipas" rešenja, moraš prvo dobro savladati kruznicu. Uradi sto vise zadataka u kojima rešenja zapisujes pomocu kruznice, pa ce ti to vremenom postati nekako logično.

Ova rešenja sam dobio gledajući na kružnicu, ali ne znam kako da ih sklopim u jedno. To rešenje koji si napisao je isto kao i u zbirci ali ne znam kako da dođem do njega. Je l se nešto sabira, oduzima ili kako?

Ako si nacrtao kruznicu kako treba, treba da zaključis da ce svako sledece rešenje, počev od [inlmath]\frac{\pi}{8}[/inlmath], "doći" posle četvrtine kruznice, tj. posle [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]. Mislim da je ovaj zaključak i vise nego očigledan ako posmatras trigonometrijsku kruznicu (naravno, ako si je ispravno odredio rešenja na njoj).
Ako nisi siguran, uzmeš i proveris:
[dispmath]\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}[/dispmath] Uzmeš da je [inlmath]k=1[/inlmath], pa sledi
[dispmath]\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{8}[/dispmath] Sad opet na ovu vrednost dodas [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]
[dispmath]\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{8}[/dispmath] Sad opet do dodas [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath], pa opet, i na taj način ces pohvatati sva rešenja jednačine.

Ili, ako rešenja poređaš po rastućem redosledu,
[dispmath]\alpha=\frac{\pi}{8}+k\pi\\
\alpha=\frac{3\pi}{8}+k\pi\\
\alpha=\frac{5\pi}{8}+k\pi\\
\alpha=\frac{7\pi}{8}+k\pi[/dispmath] može se i bez trigonometrijske kružnice uočiti da će razlika između svaka dva rešenja biti [inlmath]\frac{2\pi}{8}[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]. Kad si došao do [inlmath]\frac{7\pi}{8}+k\pi[/inlmath], dodavanjem [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath] ćeš dobiti [inlmath]\frac{9\pi}{8}+k\pi[/inlmath], a to je isto što i [inlmath]\frac{\pi}{8}+(k+1)\pi[/inlmath], tako da smo „obrnuli“ jedan period.
Znači, dovoljno je napisati jedno od ova četiri rešenja, bez sabirka [inlmath]+k\pi[/inlmath], i zatim umesto njega dodati sabirak [inlmath]+\frac{k\pi}{4}[/inlmath]. Dakle, ispravno rešenje je ili [inlmath]\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}[/inlmath], ili [inlmath]\frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}[/inlmath], ili [inlmath]\frac{5\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}[/inlmath], ili [inlmath]\frac{7\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}[/inlmath] (mada je praksa da se piše najjednostavniji zapis, u ovom slučaju [inlmath]\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}[/inlmath].

Celom ovom pričom nikako ne želim da te odvratim od crtanja trigonometrijske kružnice. Nju svakako treba da provežbaš, to je vrlo korisna alatka u rešavanju trigonometrijskih jednačina, a u slučaju trigonometrijskih nejednačina, kako i Frank reče, čak i nemaš drugog načina da dođeš do rezultata.

Hvala puno, napokon sam shvatio