MATEMANIJA

[dispmath]\sin\left(\frac{4n+3}{2}\pi+x\right)=-\cos x[/dispmath] Ne znam kako tacno da pocnem ovaj zadatak, vidio sam par primera ali ni u jednom nisam vidio [inlmath]\pi[/inlmath], pa nisam siguran sta trebam sa njim da uradim.

Za ovaj zadatak nema potrebe koristiti indukciju. Izraz sa leve strane možemo da napišemo kao [inlmath]\sin\left(\frac{4\pi n}{2}+\frac{3\pi}{2}+x\right)[/inlmath]. Znamo periodičnost sinusa, znamo odnos sinusa i kosinusa, a i ako nismo sigurni, trigonometrijska kružnica je "dušu dala" za ovakve stvari.

Aha, provjericu to, ali s obzirom da radimo trenutno oblast matematicke indukcije, profesor ce verovatno zahtjevati da koristim indukciju. Hvala u svakom slucaju!

1) [inlmath]n=1[/inlmath] (BAZA INDUKCIJE)
[dispmath]\sin\left(\frac{7\pi}{2}+x\right)=-\cos x[/dispmath][dispmath]\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi+x\right)=-\cos x[/dispmath][dispmath]\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x[/dispmath][dispmath]\sin\frac{3\pi}{2}\cdot\cos x+\cancelto{0}{\cos\frac{3\pi}{2}}\cdot\sin x=-\cos x[/dispmath][dispmath]-1\cdot\cos x=-\cos x[/dispmath][dispmath]-\cos x=-\cos x[/dispmath]
2) [inlmath]n=k[/inlmath] (PRETPOSTAVKA INDUKCIJE)
[dispmath]\sin\left(\frac{4k+3}{2}\pi+x\right)=-\cos x[/dispmath]
3) [inlmath]n=k+1[/inlmath] (KORAK INDUKCIJE)
[dispmath]\sin\left(\frac{4(k+1)+3}{2}\pi+x\right)=-\cos x[/dispmath][dispmath]\sin\left(\frac{4k+7}{2}\pi+x\right)=-\cos x[/dispmath][dispmath]\sin\left(\frac{4k+3}{2}\pi+2\pi+x\right)=-\cos x[/dispmath][dispmath]\sin\left(\frac{4k+3}{2}\pi+x\right)=-\cos x[/dispmath][dispmath]-\cos x=-\cos x[/dispmath]

Hvala puno na postupku, sad sam shvatio!