MATEMANIJA

Zdravo! Treba mi pomoć sa 19. zadatkom sa prijemnog na FON-u 2019.

Broj rešenja jednačine [inlmath]2\cos x\cos2x=\cos x−\frac{1}{2}[/inlmath] koja pripadaju intervalu [inlmath]\left[−\frac{8\pi}{9},\frac{8\pi}{9}\right)[/inlmath] jednak je:
[inlmath]A)\;3;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;2;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;5;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;4;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;1;\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]

Tačno rešenje je [inlmath]5[/inlmath].
Ja sam probala da uradim korišteći formulu za transformaciju zbira u proizvod i došla do samo 2 rešenja:
[dispmath]\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha−\beta}{2}\\
2\cos x\cos2x=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha−\beta}{2}\\
\alpha=3x,\quad\beta=x\\
2\cos x\cos2x=\cos3x+\cos x\\
\cos x−\frac{1}{2}=\cos3x+\cos x\\
\cos3x=−\frac{1}{2}\\
3x=120^\circ,\quad3x=240^\circ\\
x=40^\circ,\quad x=80^\circ[/dispmath]

Pozdrav! Dobro nam došla!
Dobro ti je sve, osim sto nisi uzela u obzir da je kosinus periodicna funkcija, sa periodom [inlmath]2\pi[/inlmath].

ILNM01 je napisao:[dispmath]x=40^\circ,\quad x=80^\circ[/dispmath]

U trigonometriji se praktikuje izrazavanje uglova u radijanima, pa ovo mozes zapisati kao [inlmath]x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3},\;k\in\mathbb{Z},\;x=\frac{4\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3},\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath]. Ostalo je jos da odredis broj onih resenja koja upadaju u interval [inlmath]\left[\frac{-8\pi}{9},\frac{8\pi}{9}\right)[/inlmath]. To mozes uraditi na sledeci nacin (uzeci samo prvu vrednost za [inlmath]x)[/inlmath]
[dispmath]\frac{-8\pi}{9}\le\frac{2\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}<\frac{8\pi}{9}[/dispmath] Sad celu nejednakost podelis sa [inlmath]\pi[/inlmath], malo sredis i dobices koliko celobrojnih vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] ispunjava nejednakost, tj. koliko ima resenja. Identican postupak i za [inlmath]x=\frac{4\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath].