MATEMANIJA

Pozdrav, potrebna mi je pomoć oko ovog zadatka pa ako je neko imao sličan problem, pomoglo bi mi
Zadatak glasi:
Ako je [inlmath]\sin2a=-\frac{4}{5}[/inlmath], pri čemu je [inlmath]\frac{3\pi}{2}<2a<2\pi[/inlmath], tada vrijednost izraza [inlmath]\sin a[/inlmath] pripada intervalu:
[inlmath]a)\;\left[-1,-\frac{1}{2}\right)\quad[/inlmath] [inlmath]b)\;\left[-\frac{1}{2},0\right)\quad[/inlmath] [inlmath]c)\;\left[0,\frac{1}{2}\right)\quad[/inlmath] [inlmath]d)\;\left[\frac{1}{2},1\right][/inlmath]
E sada ja sam krenuo na ovaj način:
[dispmath]\sin2a=2\sin a\cdot\cos a\\
-\frac{4}{5}=2\cdot\sin a\cdot\sqrt{1-\sin^2a}\quad\Big/^2\\
\frac{16}{25}=4\cdot\sin^2a\cdot\left(1-\sin^2a\right)\quad\Big/:4\\
\frac{4}{25}=\sin^2a\cdot\left(1-\sin^2a\right)\\
\sin^2a=t\\
\frac{4}{25}=t\cdot(1-t)\\
t^2-t+\frac{4}{25}=0[/dispmath] Rijesim kvadratnu jednačinu dobijem da su rješenja:
[dispmath]t_1=\frac{1}{5};\quad t_2=\frac{4}{5}[/dispmath] I sada kad vratim smjenu dobijem da je:
[dispmath]\sin^2a=\frac{1}{5};\quad\sin^2a=\frac{4}{5}\\
\sin a=\pm\frac{\sqrt5}{5};\quad\sin a=\pm\frac{2\sqrt5}{5}[/dispmath] E sada ne razumijem sta dalje, po mom nekom misljenju, mozda bih trebao gledati uslov u zadatku, ali nisam siguran.
Moguce da sam pogrijesio u prilozenom postupku.
Unaprijed Hvala
PS: Rješenje nemam

Samo da pitam, napisao si da je dato da [inlmath]\sin2a[/inlmath] iznosi [inlmath]-\frac{4}{5}[/inlmath], a onda posle da se traži interval u kome se nalazi [inlmath]\sin2a[/inlmath]. Koje od ta dva je tačno? Pretpostavljam da jedno od ta dva treba da bude [inlmath]\sin a[/inlmath], ali koje?

Pozdrav, izvinjavam se na pogresno navedenom zadatku!

Dobro si pretpostavio!
[inlmath]\sin2a=-\frac{4}{5}[/inlmath], a trazi se kom intervalu pripada [inlmath]\sin a[/inlmath]

Ovaj zadatak prosto "traži" da ga rešavamo tako što posmatramo trigonometrijsku kružnicu.

Iz uslova [inlmath]\frac{3\pi}{2}<2a<2\pi[/inlmath], dobijamo da je interval za [inlmath]a[/inlmath]: [inlmath]\frac{3\pi}{4}<a<\pi[/inlmath]. Pošto odavde vidimo da na se ugao [inlmath]a[/inlmath] nalazi u drugom kvadrantu, zaključujemo da [inlmath]\sin a[/inlmath] mora da bude pozitivan. Znamo i da je sinus monotono opadajuća funkcija u intervalu [inlmath]\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right)[/inlmath], što znači da će maksimalna moguća vrednost za [inlmath]\sin a[/inlmath] biti [inlmath]\sin\frac{3\pi}{4}[/inlmath], a minimalna [inlmath]\sin\pi[/inlmath]. Sada samo posmatraj koje od rešenja koje si ti dobio se nalazi u ovom intervalu.

Inače, mislim da je ovaj zadatak lakše uraditi tako što posmatramo ugao [inlmath]a[/inlmath] kao polovinu ugla [inlmath]2a[/inlmath], pa onda primenimo formulu za sinus polovine ugla.

Srdjan01 je napisao:Pozdrav, izvinjavam se na pogresno navedenom zadatku!

Uneo sam ispravku u uvodni post, da se oni koji budu čitali ne bi zbunili.

Ovde imaš grešku:

Srdjan01 je napisao:E sada ja sam krenuo na ovaj način:
[dispmath]\sin2a=2\sin a\cdot\cos a\\
-\frac{4}{5}=2\cdot\sin a\cdot\sqrt{1-\sin^2a}\quad\Big/^2[/dispmath]

Naime, pošto se iz uslova [inlmath]\frac{3\pi}{2}<2a<2\pi[/inlmath] dobije [inlmath]\frac{3\pi}{4}<a<\pi[/inlmath], tj. da [inlmath]a[/inlmath] pripada [inlmath]II[/inlmath] kvadrantu (što ti je i miletrans napisao), kosinus tog ugla biće manji od nule, tako da umesto [inlmath]\cos a[/inlmath] moraš pisati koren s minusom ispred: [inlmath]\cos a=-\sqrt{1-\sin^2a}[/inlmath].
Onako kako si napisao, pošto je leva strana negativna a koren pozitivan, ispalo bi da je [inlmath]\sin a[/inlmath] negativan, što ne može biti jer je [inlmath]a[/inlmath] u [inlmath]II[/inlmath] kvadrantu. S ovom korekcijom, sve se uklapa.
Mada, budući da već u sledećem koraku imaš kvadriranje zbog kojeg se predznaci gube, ova greška nema uticaja na tačnost daljeg postupka, koji ti je dobar.