MATEMANIJA

Pozdrav, potrebna mi je pomoc oko ovog zadatka, pa ako je neko imao slican problem pomoglo bi mi
Zadatak glasi: Ako za ugao [inlmath]\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath] vrijedi [inlmath]\frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}=a[/inlmath] tada vrijednost [inlmath]\tan\frac{\alpha}{2}[/inlmath] iznosi:
E sada ja sam pokusao nesto, ali mislim da sam sve pobrkao:
[dispmath]\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\\
\frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{a}{1}[/dispmath] Kada pomnozim unakrsno dobijem:
[dispmath]1-\sin\alpha=a\cdot\cos\alpha\quad\big/:a\\
\frac{1-\sin\alpha}{a}=\cos\alpha[/dispmath] E sada sam probao to uvrstiti u:
[dispmath]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/dispmath] Ali mi to bas i nije pomoglo.
Unaprijed Hvala !

Iskoristi vezu izmedju [inlmath]\sin\alpha[/inlmath], [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] i [inlmath]\tan\frac{\alpha}{2}[/inlmath]
[dispmath]\sin\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}\\
\cos\alpha=\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}[/dispmath] Ove relacije ne vaze za [inlmath]\alpha=\pi+2k\pi[/inlmath]. Tekst zadatka nas je ogradio od ovih mogucnosti, tako da s tim nemamo problema.

Može i tako što se jedinica iz izraza u brojiocu napiše kao [inlmath]\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}[/inlmath], a [inlmath]\sin\alpha[/inlmath] se napiše preko dvostrukog ugla, primeni se kvadrat binoma u obrnutom smeru tako da brojilac postaje [inlmath]\left(\sin\frac{\alpha}{2}-\cos\frac{\alpha}{2}\right)^2[/inlmath].
Imenilac napišeš isto preko dvostrukog ugla, faktorišeš kao razliku kvadrata i dobiješ [inlmath](\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2})(\cos\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2})[/inlmath].
Odmah je vidljivo šta tu može da se skrati, a ovo što ostaje (i brojilac i imenilac) podeliš sa [inlmath]\cos\frac{\alpha}{2}[/inlmath] i dobićeš izraz u kojem figuriše samo [inlmath]\text{tg }\frac{\alpha}{2}[/inlmath], a koji je jednak [inlmath]a[/inlmath], tako da nije problem izraziti [inlmath]\text{tg }\frac{\alpha}{2}[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath].

Mnogo hvala na odgovorima i pomoci.