Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Broj resenja trigonometrijske jednacine – prvi probni prijemni FON 2020.

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Broj resenja trigonometrijske jednacine – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod bonko » Ponedeljak, 15. Jun 2020, 20:50

Prvi probni prijemni ispit FON (prva grupa) – 13. jun 2020.
20. zadatak


Broj svih resenja jednacine [inlmath]\sin x-\sin3x=\cos4x-\cos2x[/inlmath] na odsecku [inlmath][0,2\pi][/inlmath] jednak je:
Tacan odgovor je: [inlmath]E)\;8[/inlmath]

To je jednako:
[dispmath]-(\sin3x-\sin x)=\cos4x-\cos2x[/dispmath] Primenimo pravilo za transformaciju razlike u proizvod sa obe strane jednacine:
[dispmath]-2\cos2x\sin x=-2\sin3x\sin x\\
\cos2x\sin x-\sin3x\sin x=0\\
\sin x(\cos2x-\sin3x)=0[/dispmath] Tu je prvo resenje [inlmath]\sin x=0[/inlmath]

Dalje se nastavlja:
[dispmath]\cos2x-\sin3x=0\\
\cos^2x-\sin^2x-3\sin x+4\sin^3x\\
4\sin^3x-2\sin^2x-3\sin x+1=0[/dispmath] Uvedemo smenu [inlmath]t=\sin x[/inlmath]
[dispmath]4t^3-2t^2-3t+1=0[/dispmath] Pogodimo drugo resenje a to je [inlmath]t=1[/inlmath] a potom podelimo jednacinu sa [inlmath]t-1[/inlmath]

Dobija se:
[dispmath]4t^2+2t-1=0[/dispmath] Nakon resavanja kvadratne jednacine resenja su:
[dispmath]t=\frac{-1+\sqrt5}{4}\quad\text{i}\quad t=\frac{-1-\sqrt5}{4}[/dispmath] Moje pitanje je: Nakon uvrstavanja prva [inlmath]2[/inlmath] resenja u interval dobije se ukupno [inlmath]4[/inlmath] resenja, dok druga dva resenja ne mogu da pretvorim u radijane a samim tim ne mogu da ih uvrstim u interval. Gde gresim?
bonko  OFFLINE
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Broj resenja trigonometrijske jednacine – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod Frank » Ponedeljak, 15. Jun 2020, 21:30

Ne moras da ih pretvaras u radijane. Vrednost [inlmath]\frac{-1+\sqrt5}{4}[/inlmath] iznosi priblizno [inlmath]0.3[/inlmath], pa ce na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath] postojati dva ugla (jedan u prvom, a jedan u drugom kvadrantu) ciji sinus iznosi (priblizno) [inlmath]0.3[/inlmath]. Tacnu vrednost ugla ne mozes odrediti, a to ti ni ne treba jer se trazi "samo" broj resenja. Da se u zadatku trazi zbir resenja na zadatom intervalu onda bi bila druga prica.
Slicno i za [inlmath]\sin x=\frac{-1-\sqrt5}{4}[/inlmath].
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Re: Broj resenja trigonometrijske jednacine – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod ILNM01 » Četvrtak, 18. Jun 2020, 14:12

Izvinite, zbunjuje me ovaj korak:
bonko je napisao:[dispmath]\cos2x-\sin3x=0\\
\cos^2x-\sin^2x-3\sin x+4\sin^3x[/dispmath]

Šta se ovde dešava sa [inlmath]\sin3x[/inlmath]? Ne prepoznajem nikakvu formulu :wtf:
ILNM01  OFFLINE
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Broj resenja trigonometrijske jednacine – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod primus » Četvrtak, 18. Jun 2020, 14:34

[dispmath]\sin3x=\sin(x+2x)=[/dispmath][dispmath]\sin x\cos2x+\sin2x\cos x=[/dispmath][dispmath]\sin x\left(\cos^2x-\sin^2x\right)+2\sin x\cos^2x=[/dispmath][dispmath]\sin x\left(1- 2\sin^2x\right)+2\sin x\left(1-\sin^2x\right)=[/dispmath][dispmath]\sin x-2\sin^3x+2\sin x-2\sin^3x=[/dispmath][dispmath]3\sin x-4\sin^3x[/dispmath]
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Trigonometrijska jednačina – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod buca » Petak, 18. Jun 2021, 15:09

* MOD EDIT * Spojene dve teme s istim zadatkom

Poz!

Znam da je obradjen zadatak vec ali i dalje ne mogu da provalim gde gresim. Zadatak:

Broj svih rešenja jednačine [inlmath]\sin x-\sin3x=\cos4x-\cos2x[/inlmath] na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath] je: [inlmath]8[/inlmath].

Evo ga moj postupak:
[dispmath]\sin x-\sin3x=\cos4x-\cos2x\\
-2\cos2x\sin x=-2\sin3x\sin x\\
\sin x(\cos2x-\sin3x)=0[/dispmath] Iz ovoga imam [inlmath]\sin x=0[/inlmath]. Nastavak:
[dispmath]\cos2x-\sin3x=0\\
\cos2x=\sin3x[/dispmath] Preko formule za polovinu ugla:
[dispmath]1+\cos4x=1-\cos6x[/dispmath] Iz zbira u proizvod:
[dispmath]2\cos5x\cos x=0[/dispmath] I sad iz ovih resenja kad pokusavam da odredim koliko ih imam na intervalu, dobijam ih mnogo vise nego sto ih u stvari ima - [inlmath]\pi,2\pi,\frac{\pi}{10},\frac{3\pi}{10},\frac{5\pi}{10},\frac{7\pi}{10},\frac{9\pi}{10},\frac{11\pi}{10},\frac{13\pi}{10},\frac{15\pi}{10},\frac{17\pi}{10},\frac{19\pi}{10}[/inlmath]

Gde bi mogla biti greska?
buca  OFFLINE
 
Postovi: 65
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Trigonometrijska jednačina – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod Acim » Petak, 18. Jun 2021, 16:24

Pogledaj ovu temu, tu sam objasnio kako se proverava svako rešenje kao i koliko rešenja ima u određenom intervalu.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Re: Trigonometrijska jednačina – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod buca » Četvrtak, 24. Jun 2021, 16:35

Evo kako to izgleda prateci tvoj postupak:

Uzmem prvo resenje - [inlmath]\sin x=0[/inlmath], tj. [inlmath]x=k\pi[/inlmath]. Kad uzmem u obzir interval, dobijam da [inlmath]k[/inlmath] pripada intervalu [inlmath][0,2][/inlmath]. Drugim recima, [inlmath]k[/inlmath] moze biti samo [inlmath]0,1,2[/inlmath].

Primenivsi ovo u ostalim jednakostima [inlmath]\cos x=0[/inlmath], [inlmath]\cos5x=0[/inlmath], dobijam sledeca resenja:
[dispmath]0,\pi,2\pi,\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{10},\frac{3\pi}{10},\frac{7\pi}{10}[/dispmath] Ovo samim tim i jeste tacan broj resenja.

Podpitanje - da li ovaj tvoj uslov vazi svuda? Kako znamo koju vrednost [inlmath]x[/inlmath] da upotrebimo za ovaj uslov?

Hvala na svemu!
buca  OFFLINE
 
Postovi: 65
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Trigonometrijska jednačina – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod Acim » Četvrtak, 24. Jun 2021, 19:58

buca je napisao:Podpitanje - da li ovaj tvoj uslov vazi svuda?

Da, kada pričamo o trig. jednačinama (vrvt može i za n-jne ali tu sam potanak, tako da za taj deo ne mogu sa sigurnošću potvrditi). Do sada, u svim probnim/pravim prijemnima sa FON-a i drugih fakulteta ovaj postupak me nikad nije izneverio (za trig. j-ne), samo ga treba savladati dobro i to je to.

buca je napisao:Kako znamo koju vrednost [inlmath]x[/inlmath] da upotrebimo za ovaj uslov?

Za bilo koju vrednost, bilo to [inlmath]x=\frac{\pi }{6}[/inlmath], [inlmath]\frac{3\pi }{8}[/inlmath] i sl.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Re: Trigonometrijska jednačina – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod Daniel » Petak, 25. Jun 2021, 16:43

buca je napisao:Gde bi mogla biti greska?

Ovde:
buca je napisao:[dispmath]\cos2x=\sin3x[/dispmath] Preko formule za polovinu ugla:
[dispmath]1+\cos4x=1-\cos6x[/dispmath]

Formule za polovinu ugla glase [inlmath]\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}[/inlmath] i [inlmath]\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}[/inlmath] (obrati pažnju na kvadrate na levim stranama). Ti ovde nisi imao [inlmath]\cos^22x=\sin^23x[/inlmath] da bi mogao primeniti polovinu ugla, već si imao [inlmath]\cos2x=\sin3x[/inlmath]. A ne smeju se tek tako kvadrirati obe strane bez diskutovanja predznaka, jer bi tako npr. od [inlmath]\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}[/inlmath] (jednakost koja je netačna) mogao dobiti [inlmath]\frac{1}{4}=\frac{1}{4}[/inlmath] (jednakost koja je odjednom postala tačna). Otuda višak rešenja.

Ako, recimo, uvrstiš rešenje [inlmath]x=\frac{7\pi}{10}[/inlmath] u korak [inlmath]\cos2x=\sin3x[/inlmath], videćeš da jednačina nije zadovoljena (leva i desna strana su jednake po apsolutnoj vrednosti ali se razlikuju po predznaku), što znači da [inlmath]x=\frac{7\pi}{10}[/inlmath] ne predstavlja rešenje polazne jednačine. Međutim, ako [inlmath]x=\frac{7\pi}{10}[/inlmath] uvrstiš u naredni korak, nakon (pogrešne) primene polovine ugla, [inlmath]1+\cos4x=1-\cos6x[/inlmath], tada će ta jednačina biti zadovoljena. Dakle, [inlmath]x=\frac{7\pi}{10}[/inlmath] je jedno od rešenja koja su ti višak, a koja su se pojavila zbog pogrešne primene polovine ugla.

I, molim te, kad već postoji neka tema za neki određeni zadatak, nemoj za taj isti zadatak otvarati novu temu, već pitanje postavi u postojećoj.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Broj resenja trigonometrijske jednacine – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod buca » Nedelja, 27. Jun 2021, 18:11

Vidim sad gde sam pogresio. Hvala ti!

Izvini za gresku vezanu za temu.
buca  OFFLINE
 
Postovi: 65
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 1 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 15 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 09:08 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs