MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 9. jul 2014.
1. zadatak

1. zadatak: Osnovni period funkcije [inlmath]\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}\tan\left(\frac{x}{3}\right)-\frac{1}{5}\cos\left(\frac{2x}{5}\right)[/inlmath] je?
[inlmath]A)\;2\pi\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;15\pi\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle C)\;\frac{5\pi}{2}\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;3\pi\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle E)\;\frac{\pi}{5}[/inlmath]

Da li je neophodno funkciju [inlmath]f(x)[/inlmath] svesti na oblik [inlmath]\sin(\alpha+k\pi)[/inlmath] (ili [inlmath]\cos(\alpha+k\pi)[/inlmath]), da bih se "približio" rešenju zadatka? Ja mislim da treba uraditi transformaciju trigonometrijskog izraza. Nije mi jasno koja transformacija izraza. Svaka pomoć je dobrodošla.

Osnovni period funkcije [inlmath]\frac{1}{3}\tan\left(\frac{x}{3}\right)[/inlmath] je:
[dispmath]T_1=\frac{\pi}{\frac{1}{3}}[/dispmath] Osnovni period funkcije [inlmath]\frac{1}{5}\cos\left(\frac{2x}{5}\right)[/inlmath] je:
[dispmath]T_2=\frac{2\pi}{\frac{2}{5}}[/dispmath] Osnovni period funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] je:
[dispmath]T=\text{NZS}(T_1,T_2)[/dispmath]

Možeš uočiti i to da osnovni period uopšte ne zavisi od koeficijenata uz tangens i uz kosinus (obeleženih crveno), već isključivo od koeficijenata uz [inlmath]x[/inlmath] (obeleženih plavo):
[dispmath]f(x)={\color{red}\frac{1}{3}}\tan\left(\frac{x}{\color{blue}3}\right)-{\color{red}\frac{1}{5}}\cos\left(\frac{{\color{blue}2}x}{\color{blue}5}\right)[/dispmath]

Hvala puno na pomoći!