Griezzmiha je napisao:Nekako me zbuni kada jednacina ima (u ovom slucaju), sto je inace retkost, dva znaka [inlmath]+/-[/inlmath] ispred nekog broja, a da ne govorim da ima koren pored sebe...
Evo malo offtopica, al' mislim da će biti koristan. Obično se [inlmath]\pm[/inlmath] i javlja pred korenom, kada je taj koren dobijen korenovanjem obe strane jednačine. Npr. neka imamo jednačinu [inlmath]x^2=9[/inlmath]. Znamo da će ona biti zadovoljena za [inlmath]x=-3[/inlmath] i za [inlmath]x=3[/inlmath], al' hajmo to postupno i da rešimo. Korenujemo obe strane, i imamo [inlmath]\sqrt{x^2}=\sqrt9[/inlmath]. Sada, pošto je po definiciji [inlmath]\sqrt{x^2}\overset{\text{def}}{=\!=}|x|[/inlmath], imamo [inlmath]|x|=\sqrt9[/inlmath]. Nakon što se oslobodimo apsolutne vrednosti, to postaje [inlmath]x=\pm\sqrt9[/inlmath] (to jest, [inlmath]x=\pm3[/inlmath]).
Vrlo se slično dešava i kada imamo [inlmath]\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}[/inlmath]. Ako korenujemo obe strane, to je [inlmath]\sqrt{\cos^2\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}[/inlmath]. Na levu stranu primenjujemo [inlmath]\sqrt{x^2}\overset{\text{def}}{=\!=}|x|[/inlmath] i dobijamo [inlmath]|\cos\frac{x}{2}|=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}[/inlmath] i, nakon oslobađanja apsolutne vrednosti, [inlmath]\cos\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}[/inlmath].
Ovo ne znači da će i [inlmath]+\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}[/inlmath] i [inlmath]-\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}[/inlmath] biti rešenja za [inlmath]\cos\frac{x}{2}[/inlmath], već znači da su i jedna i druga vrednost kandidati za rešenja. A koja će rešenja biti prihvaćena, zavisi od ostalih uslova zadatka.
Griezzmiha je napisao:Za onaj opseg u kojem se radi zadatak je mozda malo zeznut, smem li to istransformisati ovako otprilike? [inlmath]1997=998\pi\cdot2+1\pi[/inlmath] pa bi zapravo sam opseg bio ustvari [inlmath][1\pi;2\pi][/inlmath]..
To bi smelo kad bismo za sva rešenja imali period [inlmath]2k\pi[/inlmath]. Međutim, za neka rešenja imamo period [inlmath]4k\pi[/inlmath]. Tada se mora uzeti [inlmath]\text{NZS}[/inlmath] perioda svih rešenja – u ovom slučaju taj [inlmath]\text{NZS}[/inlmath] biće jednak [inlmath]\text{NZS}(2,4)=4[/inlmath].
Prema tome, možemo pisati [inlmath]1997\pi=499\cdot4\pi+\pi[/inlmath] i [inlmath]1998=499\cdot4\pi+2\pi[/inlmath], čime bismo traženje rešenja sveli na interval [inlmath][\pi,2\pi][/inlmath].
A postoji i drugi način, da za svaki od dobijenih skupova rešenja, [inlmath]x=\pi+2k\pi[/inlmath], [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}+k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{8\pi}{3}+k\pi[/inlmath], postavimo nejednačinu po [inlmath]k[/inlmath], tako da tražimo ona rešenja koja upadaju u interval [inlmath][1997\pi,1998\pi][/inlmath]. Npr. za [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}+k\pi[/inlmath]:
[dispmath]1997\cancel{\pi}\le\frac{4\cancel{\pi}}{3}+k\cancel{\pi}\le1998\cancel{\pi}\\
1997-\frac{4}{3}\le k\le1998-\frac{4}{3}\\
1995,\ldots\le k\le1996\ldots[/dispmath] Pošto [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath], jedino celobrojno rešenje koje zadovoljava ovu jednačinu iznosi [inlmath]k=1996[/inlmath]. Uvrštavanjem u [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}+k\pi[/inlmath] dobijamo [inlmath]x=\left(1996+\frac{4}{3}\right)\pi[/inlmath], tj. [inlmath]x=\left(1997+\frac{1}{3}\right)\pi[/inlmath] (mada u ovom zadatku nismo ni morali računati sâmo rešenje, dovoljno je bilo naći [inlmath]k[/inlmath], jer se traži samo broj rešenja na intervalu a ne i vrednosti tih rešenja).
Isti ovaj postupak se zatim ponovi i za [inlmath]x=\pi+2k\pi[/inlmath] i za [inlmath]x=\frac{8\pi}{3}+k\pi[/inlmath].
Srdjan01 je napisao:E sada, kada dobijemo takav segment, mi ne moramo da gledamo vrijednosti za taj segment, s obzirom da je funkcija periodicna, mozemo to da gledamo malo drugacije. Pa bi posmatranje ovog segmenta po mom misljenju (nisam bas siguran, neka me neko ispravi) moglo da se posmatra kao segment od [inlmath][0,\pi][/inlmath].
Evo ja bih ispravio, može da se posmatra segment [inlmath][\pi,2\pi][/inlmath] (obrazloženje sam napisao gore).