MATEMANIJA

Dobro vece, gospodo!

Zadatak je iz 1997. godine sa Matematickog (pise inace i Tehnicki i Fizicki i Fizicko-hemijski), pa sad nisam siguran kojem bih to faksu pripisao konkretno... Pretpostavljam da je u to vreme vazilo isto za sve napomenuto... Ne znam zaista, ali cisto da napomenem.

Data je jednacina [inlmath]1-\cos(\pi-x)+\sin\frac{\pi+x}{2}=0[/inlmath]. Broj resenja ove jednacine na segmentu [inlmath][1997\pi;1998\pi][/inlmath] je?

[inlmath]\text{A)}\;0;\quad[/inlmath] [inlmath]\text{B)}\;2;\quad[/inlmath] [inlmath]\text{C)}\;1;\quad[/inlmath] [inlmath]\text{D)}\;3;\quad[/inlmath] [inlmath]\text{E) Veci od }3;\quad[/inlmath] [inlmath]\text{N) Ne znam}.[/inlmath]

Dolazim do jednog koraka gde ne vidim sta mogu da uradim...
[dispmath]1-(\cos x\cdot\cos\pi+\sin\pi\cdot\sin x)+\left(\sin\frac{\pi}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}+\cos\frac{\pi}{2}\cdot\sin\frac{x}{2}\right);[/dispmath] zatim...
[dispmath]1-(-\cos x+0)+\left(\cos\frac{x}{2}+0\right)=0;\\
1+\cos x+\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}=0...[/dispmath] Nakon ovoga zaista nemam ideju sta mi je ciniti, pretvaranje jedinice u [inlmath]1=\cos^2x+\sin^2x[/inlmath] mislim da je beskorisno, sve u svemu zaista ne vidim sta ovde moze da se izdvoji i eventualno sredi

Pozdrav, mozda mozes ovako. Na taj izraz koji si dobio:
[dispmath]1+\cos x+\sqrt{\cos^2\frac{x}{2}}=0\\
1+\cos x+\cos\frac{x}{2}=0\\
1+\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=0[/dispmath] Mislim da sada mozes sam, ako zapne javi

Zapravo, uopšte i nije bilo potrebno primenjivati formulu za kosinus polovine ugla, već je trebalo odmah sve izraziti preko [inlmath]\cos\frac{x}{2}[/inlmath].
Štaviše, u koraku u kojem je [inlmath]\cos\frac{x}{2}[/inlmath] napisan kao [inlmath]\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}[/inlmath] učinjena je greška, jer je zaboravljen znak [inlmath]\pm[/inlmath] ispred korena. Pošto ne znamo kog je znaka [inlmath]\cos\frac{x}{2}[/inlmath], ne smemo po automatizmu uzeti [inlmath]+[/inlmath] ispred korena, već mora [inlmath]\pm[/inlmath].
(Inače, meni je oduvek bilo zanimljivo koliko je česta greška pisanje [inlmath]\cos\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}[/inlmath] umesto [inlmath]\cos\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}[/inlmath], ili [inlmath]\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath] umesto [inlmath]\cos x=\pm\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath], dok se recimo nikad ne dešava da se pri rešavanju kvadratne greškom napiše [inlmath]\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/inlmath] umesto [inlmath]\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/inlmath].)

I u postupku koji je Srdjan01 pokazao postoji greška. [inlmath]\sqrt{\cos^2\frac{x}{2}}[/inlmath] se ne bi smelo pisati kao [inlmath]\cos\frac{x}{2}[/inlmath], već bi moralo kao [inlmath]\left|\cos\frac{x}{2}\right|[/inlmath] (jer je [inlmath]\sqrt{x^2}\overset{\text{def}}{=\!=}|x|[/inlmath]). Međutim, ova greška je „neutralisala“ grešku iz Griezzmihinog postupka (u kojem je izostavljen [inlmath]\pm[/inlmath]), tako da bi se daljim postupkom došlo do ispravnog rešenja.

---

Za svođenje [inlmath]\cos(\pi-x)[/inlmath] i [inlmath]\sin\frac{\pi+x}{2}[/inlmath] na prvi kvadrant nije greška upotrebiti adicione, kao što si ti, Griezzmiha, radio. Međutim, to je gubljenje vremena. S trigonometrijske kružnice se odmah može vrlo lako očitati da je [inlmath]\cos(\pi-x)=-\cos x[/inlmath] i da je [inlmath]\sin\frac{\pi+x}{2}=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)=\cos\frac{x}{2}[/inlmath]. Preporučujem da pogledaš ovaj post – „Svođenje trigonometrijskih funkcija bilo kog ugla na trigonometrijske funkcije oštrog ugla“, kao i „Očitavanje vrednosti trigonometrijskih funkcija sa trigonometrijske kružnice“.

Hvala! Daniele, slozio bih se oko znakova ispred korena, ali je problem sto je to validna transformacija a ja imam dva znaka... Nekako me zbuni kada jednacina ima (u ovom slucaju), sto je inace retkost, dva znaka [inlmath]+/-[/inlmath] ispred nekog broja, a da ne govorim da ima koren pored sebe... Za izraz kojim se dolazi do resenja kod kvadratne jednacine koji pominjes, je laksi uslovno receno, zato sto se sa njim susrecem otkad znam za sebe, stoga je naravno vrlo verovatno da necu "zaboraviti" oba znaka... Dok ovaj slucaj konkretno, zbunjuje tom cinjenicom i ja onda "pojedem" znak zato sto mi je nekako nelogicno, i cini mi se pogresno... Sada da predjem na resavanje i ono sto me mozda buni kod ovog zadatka...

Nastavio sam onde gde me je uputio Srdjan, i dobio sledece...
[dispmath]1+\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=0[/dispmath] pa zatim transformisem [inlmath]\sin^2\frac{x}{2}[/inlmath] u [inlmath]1-\cos^2\frac{x}{2}[/inlmath]... Nakon toga to i zapisem u celom izrazu
[dispmath]1+\cos^2\frac{x}{2}-\left(1-\cos^2\frac{x}{2}\right)+\cos\frac{x}{2}=0;\\
1+\cos^2\frac{x}{2}-1+\cos^2\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=0;\\
\cos^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=0;\\
2\cos^2\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=0;[/dispmath] Pa onda napravim smenu [inlmath]T/Z/B[/inlmath] kako god pa ce biti [inlmath]T/Z/B=\cos\frac{x}{2}[/inlmath] radi lakseg snalazenja...

Dobijem resavanjem kvadratne jednacine da je [inlmath]T=0[/inlmath] i [inlmath]T=\frac{-1}{2}[/inlmath]... I za divno cudo ostajem zbunjen u ovom koraku...

ispasce za prvi [inlmath]X=\pi;\;3\pi[/inlmath] Ne znam da li je tacno, nisam bas siguran iskreno...

A za drugu smenu [inlmath]X=\frac{4\pi}{3};\;\frac{8\pi}{3}[/inlmath]... Zanima me sada da li sam dobro odradio transformaciju

Siguran sam nekih [inlmath]70\%[/inlmath] u tacnost ovoga, konkretno mislim za deo na kraju, moram da budem iskren i da kazem da sam u tom pogledu vrlo nesiguran.

Za onaj opseg u kojem se radi zadatak je mozda malo zeznut, smem li to istransformisati ovako otprilike? [inlmath]1997=998\pi\cdot2+1\pi[/inlmath] pa bi zapravo sam opseg bio ustvari [inlmath][1\pi;2\pi][/inlmath].. Mozda je sve ovo dobro, ali sam nesiguran u ono sto radim... Ako nije problem, za bilo kakvu kardinalnu gresku ili i neku malu koja se potkrade, mozete li mozda podeliti neki link? Bas kao ovaj Danielov, izuzetno koristan. Hvala vam svima puno!

Pozdrav, mogao si i ovako doci do rjesenja:
Nakon transformacije [inlmath]\sin^2\frac{x}{2}[/inlmath] u [inlmath]1-\cos^2\frac{x}{2}[/inlmath] i ponistavanjem suprotnih vrijednosti dobijas:
[dispmath]2\cos^2\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=0\\
\cos\frac{x}{2}\left(2\cos\frac{x}{2}+1\right)=0\\
\cos\frac{x}{2}=0;\;2\cos\frac{x}{2}+1=0[/dispmath] Odakle dobijas rjesenja:
[dispmath]x=\pi+2k\pi\\
x=\frac{4\pi}{3}+4k\pi\\
x=\frac{8\pi}{3}+4k\pi[/dispmath] E sada, kada dobijemo takav segment, mi ne moramo da gledamo vrijednosti za taj segment, s obzirom da je funkcija periodicna, mozemo to da gledamo malo drugacije. Pa bi posmatranje ovog segmenta po mom misljenju (nisam bas siguran, neka me neko ispravi) moglo da se posmatra kao segment od [inlmath][0,\pi][/inlmath].

Periodicnost sama po sebi mi je nekako vrlo konfuzna... Konkretno ovih [inlmath]4\pi[/inlmath] koje dobijas, da li bi mogao mozda da mi pokazes postupno pojavu/dobijanje tih [inlmath]4\pi[/inlmath]? Mislim da znam ali ne bih da lupam gluposti .

Zaboravio sam da dodam i [inlmath]2\pi[/inlmath] koje se takodje odnosi na periodicnost... Da li ti Srdjane kreces od recimo lupam, dajem sad samo neki primer
[dispmath]\cos\frac{x}{2}=0[/dispmath] recimo; Zatim ide...
[dispmath]\frac{x}{2}=\arccos0;\\
\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2};\;\frac{3\pi}{2};[/dispmath] Onda odredis periodicnost na sledeci nacin tj. preko formule [inlmath]T=\large\frac{2\pi}{\omega}[/inlmath] pa onda je to [inlmath]T=\large\frac{2\pi}{\frac{1}{2}}[/inlmath] tj. [inlmath]T=4\pi[/inlmath]... Pa bi na kraju to trebalo izgledati ovako (mislim)...
[dispmath]x=\pi;\;3\pi + 4k\pi...[/dispmath] Nisam bas siguran, pa iz tog razloga ovoliko preciziram sa postupkom, mislim da je sve u redu ovde Dok se oko opsega [inlmath][1997\pi;1998\pi][/inlmath] i dalje bunim.

Pozdrav, evo postupak kako sam dobio [inlmath]4\pi[/inlmath]
[dispmath]2\cos\frac{x}{2}+1=0\\
2\cos\frac{x}{2}=-1\\
\cos\frac{x}{2}=-\frac{1}{2}[/dispmath] S obzirom na to, da vrijedi [inlmath]\cos s=\cos(2\pi-s)[/inlmath] jednacina ima dva rjesenja.
[dispmath]\cos\frac{x}{2}=-\frac{1}{2};\quad\cos\left(2\pi-\frac{x}{2}\right)=-\frac{1}{2}[/dispmath] Sada kada uradimo [inlmath]\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]\frac{x}{2}=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\\
2\pi-\frac{x}{2}=\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/dispmath] Slijedi:
[dispmath]x=\frac{4\pi}{3}+4k\pi\\
x=\frac{8\pi}{3}+4k\pi[/dispmath]

Griezzmiha je napisao:Nekako me zbuni kada jednacina ima (u ovom slucaju), sto je inace retkost, dva znaka [inlmath]+/-[/inlmath] ispred nekog broja, a da ne govorim da ima koren pored sebe...

Evo malo offtopica, al' mislim da će biti koristan. Obično se [inlmath]\pm[/inlmath] i javlja pred korenom, kada je taj koren dobijen korenovanjem obe strane jednačine. Npr. neka imamo jednačinu [inlmath]x^2=9[/inlmath]. Znamo da će ona biti zadovoljena za [inlmath]x=-3[/inlmath] i za [inlmath]x=3[/inlmath], al' hajmo to postupno i da rešimo. Korenujemo obe strane, i imamo [inlmath]\sqrt{x^2}=\sqrt9[/inlmath]. Sada, pošto je po definiciji [inlmath]\sqrt{x^2}\overset{\text{def}}{=\!=}|x|[/inlmath], imamo [inlmath]|x|=\sqrt9[/inlmath]. Nakon što se oslobodimo apsolutne vrednosti, to postaje [inlmath]x=\pm\sqrt9[/inlmath] (to jest, [inlmath]x=\pm3[/inlmath]).
Vrlo se slično dešava i kada imamo [inlmath]\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}[/inlmath]. Ako korenujemo obe strane, to je [inlmath]\sqrt{\cos^2\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}[/inlmath]. Na levu stranu primenjujemo [inlmath]\sqrt{x^2}\overset{\text{def}}{=\!=}|x|[/inlmath] i dobijamo [inlmath]|\cos\frac{x}{2}|=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}[/inlmath] i, nakon oslobađanja apsolutne vrednosti, [inlmath]\cos\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}[/inlmath].
Ovo ne znači da će i [inlmath]+\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}[/inlmath] i [inlmath]-\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}[/inlmath] biti rešenja za [inlmath]\cos\frac{x}{2}[/inlmath], već znači da su i jedna i druga vrednost kandidati za rešenja. A koja će rešenja biti prihvaćena, zavisi od ostalih uslova zadatka.

Griezzmiha je napisao:Za onaj opseg u kojem se radi zadatak je mozda malo zeznut, smem li to istransformisati ovako otprilike? [inlmath]1997=998\pi\cdot2+1\pi[/inlmath] pa bi zapravo sam opseg bio ustvari [inlmath][1\pi;2\pi][/inlmath]..

To bi smelo kad bismo za sva rešenja imali period [inlmath]2k\pi[/inlmath]. Međutim, za neka rešenja imamo period [inlmath]4k\pi[/inlmath]. Tada se mora uzeti [inlmath]\text{NZS}[/inlmath] perioda svih rešenja – u ovom slučaju taj [inlmath]\text{NZS}[/inlmath] biće jednak [inlmath]\text{NZS}(2,4)=4[/inlmath].
Prema tome, možemo pisati [inlmath]1997\pi=499\cdot4\pi+\pi[/inlmath] i [inlmath]1998=499\cdot4\pi+2\pi[/inlmath], čime bismo traženje rešenja sveli na interval [inlmath][\pi,2\pi][/inlmath].

A postoji i drugi način, da za svaki od dobijenih skupova rešenja, [inlmath]x=\pi+2k\pi[/inlmath], [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}+k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{8\pi}{3}+k\pi[/inlmath], postavimo nejednačinu po [inlmath]k[/inlmath], tako da tražimo ona rešenja koja upadaju u interval [inlmath][1997\pi,1998\pi][/inlmath]. Npr. za [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}+k\pi[/inlmath]:
[dispmath]1997\cancel{\pi}\le\frac{4\cancel{\pi}}{3}+k\cancel{\pi}\le1998\cancel{\pi}\\
1997-\frac{4}{3}\le k\le1998-\frac{4}{3}\\
1995,\ldots\le k\le1996\ldots[/dispmath] Pošto [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath], jedino celobrojno rešenje koje zadovoljava ovu jednačinu iznosi [inlmath]k=1996[/inlmath]. Uvrštavanjem u [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}+k\pi[/inlmath] dobijamo [inlmath]x=\left(1996+\frac{4}{3}\right)\pi[/inlmath], tj. [inlmath]x=\left(1997+\frac{1}{3}\right)\pi[/inlmath] (mada u ovom zadatku nismo ni morali računati sâmo rešenje, dovoljno je bilo naći [inlmath]k[/inlmath], jer se traži samo broj rešenja na intervalu a ne i vrednosti tih rešenja).
Isti ovaj postupak se zatim ponovi i za [inlmath]x=\pi+2k\pi[/inlmath] i za [inlmath]x=\frac{8\pi}{3}+k\pi[/inlmath].

Srdjan01 je napisao:E sada, kada dobijemo takav segment, mi ne moramo da gledamo vrijednosti za taj segment, s obzirom da je funkcija periodicna, mozemo to da gledamo malo drugacije. Pa bi posmatranje ovog segmenta po mom misljenju (nisam bas siguran, neka me neko ispravi) moglo da se posmatra kao segment od [inlmath][0,\pi][/inlmath].

Evo ja bih ispravio, može da se posmatra segment [inlmath][\pi,2\pi][/inlmath] (obrazloženje sam napisao gore).

Samo jos da pitam za resenje, u zbirci koju imam samo je dat odgovor za broj resenja, ali u slucaju da je moja logika pogresna... Resenja su
[dispmath]{\Large\pi}\text{ i }{\large\frac{4\pi}{3}}\text?[/dispmath]

Da
Mozes pogledati i ovo: viewtopic.php?f=4&t=2591