Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Trigonometrijska nejednačina

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Trigonometrijska nejednačina

Postod Frank » Četvrtak, 12. Novembar 2020, 18:29

Pozdrav! Imam problem sa sledećim zadatkom: Rešiti nejednačinu
[dispmath]2\sin^2x-\sin x+\sin3x<1[/dispmath] Nakon primene formule za sinus trostrukog ugla nejednačina postaje [inlmath]\;4\sin^3x-2\sin^2x-2\sin x+1>0[/inlmath], tj. [inlmath](2\sin x-1)\left(2\sin^2x-1\right)>0[/inlmath]
Prvi slučaj:
[dispmath]2\sin x-1>0\enspace\land\enspace2\sin^2x-1>0\\
\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi\enspace\land\enspace\frac{\pi}{4}+k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+k\pi\;;\enspace k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Presek rešenja:
[dispmath]1^\circ\quad\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi\\
\Longrightarrow\;x\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{13\pi}{6},\frac{17\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{25\pi}{6},\frac{29\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{37\pi}{6},\frac{41\pi}{6}\right)\cup\cdots[/dispmath][dispmath]2^\circ\quad\frac{\pi}{4}+k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+k\pi\\
\Longrightarrow\;x\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{9\pi}{4},\frac{11\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{13\pi}{4},\frac{15\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{17\pi}{4},\frac{19\pi}{4}\right)\cup\cdots[/dispmath] Kada unesem brojne vrednosti prvog i drugog slučaja, nalazim da je presek istih [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{9\pi}{4},\frac{11\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{17\pi}{4},\frac{19\pi}{4}\right)\cdots[/inlmath], tj. rešenje prvog slučaja je [dispmath]\enclose{box}{\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi;\;k\in\mathbb{Z}}[/dispmath] Drugi slučaj:
[dispmath]2\sin x-1<0\enspace\land\enspace2\sin^2x-1<0\\
\frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{13\pi}{6}+2k\pi\enspace\land\enspace-\frac{\pi}{4}+k\pi<x<\frac{\pi}{4}+k\pi\;;\enspace k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Presek rešenja:
[dispmath]1^\circ\quad x\in\left(\frac{5\pi}{6},\frac{13\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{17\pi}{6},\frac{25\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{29\pi}{6},\frac{37\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{41\pi}{6},\frac{49\pi}{6}\right)\cup\cdots\\
2^\circ\quad x\in\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{4},\frac{9\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{4},\frac{13\pi}{4}\right)\cup\cdots[/dispmath] Kada unesem vrednosti prvog i drugog slučaja na brojevnu pravu, nalazim da je presek rešenja [inlmath]\;x\in\left(\frac{5\pi}{6},\frac{5\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{17\pi}{6},\frac{13\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{29\pi}{6},\frac{21\pi}{4}\right)\cup\cdots[/inlmath], tj. rešenje drugog slučaja je
[dispmath]\enclose{box}{\frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{4}+2k\pi\;k\in\mathbb{Z}}[/dispmath] Medjutim, u zbirci piše još jedan (pored ova dva uokvirena) skup rešenja: [inlmath]\;-\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]. Ako bi mi neko ukazao na propust u rešavanju zadatka, bio bih mu veoma zahvalan.

I još jedno pitanje: Da li je matematički korektan način na koji tražim presek rešenja? Hvala!
Dosta mi je lakše (u smislu da sam sigurniji u ono sto radim) da na gore naveden način tražim presek rešenja nego da crtam trigonometrijsku kružnicu.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Trigonometrijska nejednačina

Postod Daniel » Petak, 13. Novembar 2020, 22:58

Pre nego što ti ukažem na grešku, samo jedno pitanje – jesi li ipak pokušao da skup rešenja odrediš i preko trigonometrijske kružnice pa da uporediš s ovim što si ovde dobio?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Trigonometrijska nejednačina

Postod Frank » Petak, 13. Novembar 2020, 23:12

Ne, nisam. Ne koristim trigonometrijsku kružnicu za rešavanje nejednačina jer se potpuno izgubim na istoj. Praktikujem crtanje grafika odgovarajuće trigonometrijske funkcije...
Preko trigonometrijske kružnice jedva rešim i one najjednostavnije nejednačine u kojima se traži samo da očitamo interval kojem pripada [inlmath]x[/inlmath] (tj. nema nikakvih preseka, unija...)
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +2

Re: Trigonometrijska nejednačina

Postod Daniel » Petak, 13. Novembar 2020, 23:49

Frank je napisao:Ne koristim trigonometrijsku kružnicu za rešavanje nejednačina jer se potpuno izgubim na istoj.

To ti je veeelika greška. Pre ćeš se izgubiti u ovolikom računu i među ovolikim umnošcima broja [inlmath]\pi[/inlmath] (kao što upravo ovde i jesi, a mogu ti reći da se i meni od sveg ovog računa pomalo zavrtelo u glavi).
Odvoj jedno popodne i lepo sedi i savladaj trigonometrijsku kružnicu, to ti je moj "strong recommend", nisu je ljudi bez razloga izmislili. Nakon toga će ti sve ići mnogo lakše.

Ovde ti je greška jer si pri računanju preseka rešenja u drugom slučaju, nakon intervala [inlmath]\left(\frac{5\pi}{6},\frac{5\pi}{4}\right)[/inlmath] izostavio interval [inlmath]\left(\frac{7\pi}{4},\frac{13\pi}{6}\right)[/inlmath], zatim si nakon intervala [inlmath]\left(\frac{17\pi}{6},\frac{13\pi}{4}\right)[/inlmath] izostavio interval [inlmath]\left(\frac{15\pi}{4},\frac{25\pi}{6}\right)[/inlmath] itd.
Vidiš kako je ovde lako pogubiti se? Još jednom ti savetujem – batali ovaj način. Kružnica!



Predložio bih i nešto drugačiji način za transformaciju samog početnog oblika nejednačine. Primenom transformacije razlike sinusa u proizvod s jedne strane izbegavamo formulu za sinus trostrukog ugla, a s druge strane izbegavamo i jednačinu trećeg stepena:
[dispmath]2\sin^2x-\sin x+\sin3x<1\\
2\sin^2x+2\cos2x\sin x<\sin^2x+\cos^2x\\
2\cos2x\sin x<\cos^2x-\sin^2x\\
2\cos2x\sin x<\cos2x\\
\cos2x(2\sin x-1)<0[/dispmath] I zatim se zapisivanjem [inlmath]\cos2x[/inlmath] kao [inlmath]1-2\sin^2x[/inlmath] to svodi na oblik do kojeg si i ti došao...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 41 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 10:29 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs