Pozdrav! Imam problem sa sledećim zadatkom: Rešiti nejednačinu
[dispmath]2\sin^2x-\sin x+\sin3x<1[/dispmath] Nakon primene formule za sinus trostrukog ugla nejednačina postaje [inlmath]\;4\sin^3x-2\sin^2x-2\sin x+1>0[/inlmath], tj. [inlmath](2\sin x-1)\left(2\sin^2x-1\right)>0[/inlmath]
Prvi slučaj:
[dispmath]2\sin x-1>0\enspace\land\enspace2\sin^2x-1>0\\
\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi\enspace\land\enspace\frac{\pi}{4}+k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+k\pi\;;\enspace k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Presek rešenja:
[dispmath]1^\circ\quad\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi\\
\Longrightarrow\;x\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{13\pi}{6},\frac{17\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{25\pi}{6},\frac{29\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{37\pi}{6},\frac{41\pi}{6}\right)\cup\cdots[/dispmath][dispmath]2^\circ\quad\frac{\pi}{4}+k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+k\pi\\
\Longrightarrow\;x\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{9\pi}{4},\frac{11\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{13\pi}{4},\frac{15\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{17\pi}{4},\frac{19\pi}{4}\right)\cup\cdots[/dispmath] Kada unesem brojne vrednosti prvog i drugog slučaja, nalazim da je presek istih [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{9\pi}{4},\frac{11\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{17\pi}{4},\frac{19\pi}{4}\right)\cdots[/inlmath], tj. rešenje prvog slučaja je [dispmath]\enclose{box}{\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi;\;k\in\mathbb{Z}}[/dispmath] Drugi slučaj:
[dispmath]2\sin x-1<0\enspace\land\enspace2\sin^2x-1<0\\
\frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{13\pi}{6}+2k\pi\enspace\land\enspace-\frac{\pi}{4}+k\pi<x<\frac{\pi}{4}+k\pi\;;\enspace k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Presek rešenja:
[dispmath]1^\circ\quad x\in\left(\frac{5\pi}{6},\frac{13\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{17\pi}{6},\frac{25\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{29\pi}{6},\frac{37\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{41\pi}{6},\frac{49\pi}{6}\right)\cup\cdots\\
2^\circ\quad x\in\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{4},\frac{9\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{4},\frac{13\pi}{4}\right)\cup\cdots[/dispmath] Kada unesem vrednosti prvog i drugog slučaja na brojevnu pravu, nalazim da je presek rešenja [inlmath]\;x\in\left(\frac{5\pi}{6},\frac{5\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{17\pi}{6},\frac{13\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{29\pi}{6},\frac{21\pi}{4}\right)\cup\cdots[/inlmath], tj. rešenje drugog slučaja je
[dispmath]\enclose{box}{\frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{4}+2k\pi\;k\in\mathbb{Z}}[/dispmath] Medjutim, u zbirci piše još jedan (pored ova dva uokvirena) skup rešenja: [inlmath]\;-\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]. Ako bi mi neko ukazao na propust u rešavanju zadatka, bio bih mu veoma zahvalan.
I još jedno pitanje: Da li je matematički korektan način na koji tražim presek rešenja? Hvala!
Dosta mi je lakše (u smislu da sam sigurniji u ono sto radim) da na gore naveden način tražim presek rešenja nego da crtam trigonometrijsku kružnicu.