MATEMANIJA

Pozdrav! Imam problem sa sledećim zadatkom: Rešiti nejednačinu
[dispmath]2\sin^2x-\sin x+\sin3x<1[/dispmath] Nakon primene formule za sinus trostrukog ugla nejednačina postaje [inlmath]\;4\sin^3x-2\sin^2x-2\sin x+1>0[/inlmath], tj. [inlmath](2\sin x-1)\left(2\sin^2x-1\right)>0[/inlmath]
Prvi slučaj:
[dispmath]2\sin x-1>0\enspace\land\enspace2\sin^2x-1>0\\
\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi\enspace\land\enspace\frac{\pi}{4}+k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+k\pi\;;\enspace k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Presek rešenja:
[dispmath]1^\circ\quad\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi\\
\Longrightarrow\;x\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{13\pi}{6},\frac{17\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{25\pi}{6},\frac{29\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{37\pi}{6},\frac{41\pi}{6}\right)\cup\cdots[/dispmath][dispmath]2^\circ\quad\frac{\pi}{4}+k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+k\pi\\
\Longrightarrow\;x\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{9\pi}{4},\frac{11\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{13\pi}{4},\frac{15\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{17\pi}{4},\frac{19\pi}{4}\right)\cup\cdots[/dispmath] Kada unesem brojne vrednosti prvog i drugog slučaja, nalazim da je presek istih [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{9\pi}{4},\frac{11\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{17\pi}{4},\frac{19\pi}{4}\right)\cdots[/inlmath], tj. rešenje prvog slučaja je [dispmath]\enclose{box}{\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{4}+2k\pi;\;k\in\mathbb{Z}}[/dispmath] Drugi slučaj:
[dispmath]2\sin x-1<0\enspace\land\enspace2\sin^2x-1<0\\
\frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{13\pi}{6}+2k\pi\enspace\land\enspace-\frac{\pi}{4}+k\pi<x<\frac{\pi}{4}+k\pi\;;\enspace k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Presek rešenja:
[dispmath]1^\circ\quad x\in\left(\frac{5\pi}{6},\frac{13\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{17\pi}{6},\frac{25\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{29\pi}{6},\frac{37\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{41\pi}{6},\frac{49\pi}{6}\right)\cup\cdots\\
2^\circ\quad x\in\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{4},\frac{9\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{4},\frac{13\pi}{4}\right)\cup\cdots[/dispmath] Kada unesem vrednosti prvog i drugog slučaja na brojevnu pravu, nalazim da je presek rešenja [inlmath]\;x\in\left(\frac{5\pi}{6},\frac{5\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{17\pi}{6},\frac{13\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{29\pi}{6},\frac{21\pi}{4}\right)\cup\cdots[/inlmath], tj. rešenje drugog slučaja je
[dispmath]\enclose{box}{\frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{4}+2k\pi\;k\in\mathbb{Z}}[/dispmath] Medjutim, u zbirci piše još jedan (pored ova dva uokvirena) skup rešenja: [inlmath]\;-\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]. Ako bi mi neko ukazao na propust u rešavanju zadatka, bio bih mu veoma zahvalan.

I još jedno pitanje: Da li je matematički korektan način na koji tražim presek rešenja? Hvala!
Dosta mi je lakše (u smislu da sam sigurniji u ono sto radim) da na gore naveden način tražim presek rešenja nego da crtam trigonometrijsku kružnicu.

Pre nego što ti ukažem na grešku, samo jedno pitanje – jesi li ipak pokušao da skup rešenja odrediš i preko trigonometrijske kružnice pa da uporediš s ovim što si ovde dobio?

Ne, nisam. Ne koristim trigonometrijsku kružnicu za rešavanje nejednačina jer se potpuno izgubim na istoj. Praktikujem crtanje grafika odgovarajuće trigonometrijske funkcije...
Preko trigonometrijske kružnice jedva rešim i one najjednostavnije nejednačine u kojima se traži samo da očitamo interval kojem pripada [inlmath]x[/inlmath] (tj. nema nikakvih preseka, unija...)

Frank je napisao:Ne koristim trigonometrijsku kružnicu za rešavanje nejednačina jer se potpuno izgubim na istoj.

To ti je veeelika greška. Pre ćeš se izgubiti u ovolikom računu i među ovolikim umnošcima broja [inlmath]\pi[/inlmath] (kao što upravo ovde i jesi, a mogu ti reći da se i meni od sveg ovog računa pomalo zavrtelo u glavi).
Odvoj jedno popodne i lepo sedi i savladaj trigonometrijsku kružnicu, to ti je moj "strong recommend", nisu je ljudi bez razloga izmislili. Nakon toga će ti sve ići mnogo lakše.

Ovde ti je greška jer si pri računanju preseka rešenja u drugom slučaju, nakon intervala [inlmath]\left(\frac{5\pi}{6},\frac{5\pi}{4}\right)[/inlmath] izostavio interval [inlmath]\left(\frac{7\pi}{4},\frac{13\pi}{6}\right)[/inlmath], zatim si nakon intervala [inlmath]\left(\frac{17\pi}{6},\frac{13\pi}{4}\right)[/inlmath] izostavio interval [inlmath]\left(\frac{15\pi}{4},\frac{25\pi}{6}\right)[/inlmath] itd.
Vidiš kako je ovde lako pogubiti se? Još jednom ti savetujem – batali ovaj način. Kružnica!

---

Predložio bih i nešto drugačiji način za transformaciju samog početnog oblika nejednačine. Primenom transformacije razlike sinusa u proizvod s jedne strane izbegavamo formulu za sinus trostrukog ugla, a s druge strane izbegavamo i jednačinu trećeg stepena:
[dispmath]2\sin^2x-\sin x+\sin3x<1\\
2\sin^2x+2\cos2x\sin x<\sin^2x+\cos^2x\\
2\cos2x\sin x<\cos^2x-\sin^2x\\
2\cos2x\sin x<\cos2x\\
\cos2x(2\sin x-1)<0[/dispmath] I zatim se zapisivanjem [inlmath]\cos2x[/inlmath] kao [inlmath]1-2\sin^2x[/inlmath] to svodi na oblik do kojeg si i ti došao...