MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF – 29. jun 2020.
17. zadatak

Pozdrav! Ziv se polomih oko jedne trigonometrijske jednačine. U pitanju je 17. zadatak sa ovogodišnjeg prijemnog ispita na ETF-u u Beogradu. Tekst zadatka je sledeći:

---

Skup rešenja jednačine [inlmath]\displaystyle(\log_{\large\sin x}2)\left(\log_{\large\sin^2x}\frac{4}{3}\right)=2\log_{\large\frac{4}{3}}2[/inlmath] ima tačno tri zajednička elementa sa skupom [inlmath]S[/inlmath], ako je
[inlmath]\displaystyle\text{(A)}\;S=\left\{\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4},\frac{11\pi}{4},\frac{15\pi}{4}\right\}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\text{(B)}\;S=\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right\}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\text{(C)}\;S=\left\{\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},-\frac{\pi}{3},-\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right\}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\text{(D)}\;S=\left\{\frac{\pi}{3},\frac{7\pi}{3},\frac{13\pi}{3},\frac{19\pi}{3},\frac{25\pi}{3},\frac{31\pi}{3}\right\}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\enclose{circle}{\text{(E)}}\;S=\left\{\frac{2\pi}{3},-\frac{4\pi}{3},-\frac{5\pi}{3},-\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right\}\quad[/inlmath] [inlmath]\text{(N)}\;\text{Ne znam}[/inlmath]

---

Svi zadaci ovog tipa na koje sam nailazio se rade primenom osobina [inlmath]\log_ab=\frac{1}{\large\log_ba}[/inlmath] i [inlmath]\log_ab=\frac{\large\log_cb}{\large\log_ca}[/inlmath]. Međutim, baze i argumenti u zadatku o kojem je reč u ovoj temi su tako "podešeni" da se pomenute osobine logaritma ne mogu primeniti (tj. njihovom primenom ne dobijam ništa što bi mi pomoglo u daljem rešavanju zadatka). Drugo što mi je palo na pamet je to da "razvijem" jednačinu (tj. primena odgovarajućih svojstava logaritma, oslobađanje od zagrade, prebacivanje desne strane jednakosti na levu), ali time ne dolazim ni do čega korisnog. Analiziranjem leve i desne strane jednakosti ne dobijam ništa (BTW Desna strana je konstanta vrednost i uvek je pozitivna; leva strana je takođe pozitivna za svako [inlmath]x[/inlmath] za koje je ista definisana).
Svaka smernica u kom pravcu da krenem s rešavanjem jednačine je dobro došla. Hvala!

Hint:
[dispmath]\log_{\sin x}2=\frac{\log_\frac{4}{3}2}{\log_\frac{4}{3}\sin x}\text{ ; }\log_{\sin^2x}\frac{4}{3}=\frac{1}{\log_\frac{4}{3}\sin^2x}[/dispmath]

@primus, hvala!
Da ne bi ostala tema prazna, dovršiću zadatak (90% zadatka primus je već uradio, al' dobro):
[dispmath](\log_{\large\sin x}2)\left(\log_{\large\sin^2x}\frac{4}{3}\right)=2\log_\frac{4}{3}2\\
\sin x>0\quad\land\quad\sin x\neq1\quad\land\quad\sin^2x>0\quad\land\quad\sin^2x\neq1\\
\frac{\cancel{\log_{\large\frac{4}{3}}2}}{\log_{\large\frac{4}{3}}\sin x}\cdot\frac{1}{\log_{\large\frac{4}{3}}\sin^2x}=2\cancel{\log_{\large\frac{4}{3}}2}\\
4\log^2_{\large\frac{4}{3}}\sin x=1\;\Longrightarrow\;\log_{\large\frac{4}{3}}\sin x=\pm\frac{1}{2}\\
1^\circ\;\sin x=\left(\frac{4}{3}\right)^{\large\frac{1}{2}}\qquad2^\circ\;\sin x=\left(\frac{4}{3}\right)^{\large-\frac{1}{2}}[/dispmath] Zbog ograničenosti sinusne funkcije prvi slučaj otpada, pa ostaje samo
[dispmath]\sin x=\left(\frac{4}{3}\right)^{\large-\frac{1}{2}}\;\Longrightarrow\;\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\\
x=\frac{\pi}{3}+2k\pi;\;k\in\mathbb{Z}\qquad\lor\qquad x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi;\;k\in\mathbb{Z}[/dispmath]

Frank je napisao:[dispmath]4\log^2_{\large\frac{4}{3}}\sin x=1\;\Longrightarrow\;\log_{\large\frac{4}{3}}\sin x=\pm\frac{1}{2}[/dispmath]

Ovde nema potrebe posmatrati slučaj [inlmath]1^\circ[/inlmath] i slučaj [inlmath]2^\circ[/inlmath], odmah možemo odbaciti pozitivno rešenje i ostaviti samo negativno. Zašto? Pa, znamo da logaritam [inlmath]\log_ba[/inlmath] ima negativnu vrednost kada su [inlmath]a\in(0,1)[/inlmath] i [inlmath]b>1[/inlmath], ili obratno – kada je [inlmath]a>1[/inlmath] i [inlmath]b\in(0,1)[/inlmath]. Kada su i [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] istovremeno u intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath], ili kada su i [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] istovremeno veći od [inlmath]1[/inlmath], tada je vrednost logaritma pozitivna. E, pošto ovde imamo [inlmath]\log_{\large\frac{4}{3}}\sin x[/inlmath], a znamo da je [inlmath]\sin x\in(0,1)[/inlmath] i [inlmath]\frac{4}{3}>1[/inlmath], vrednost tog logaritma je negativna. Zato na desnoj strani odbacujemo [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i ostavljamo [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath].

---

Priložio bih još jedan način za rešavanje. U drugoj zagradi izvučemo ispred logaritma dvojku i u brojiocu i u imeniocu, one se pokrate i ostane [inlmath]\log_{\sin x}\frac{2}{\sqrt3}[/inlmath]. Takođe, na desnoj strani ispred logaritma izvučemo dvojku u imeniocu, čime desna strana postaje [inlmath]\log_{\large\frac{2}{\sqrt3}}2[/inlmath]:
[dispmath](\log_{\sin x}2)\left(\log_{\sin x}\frac{2}{\sqrt3}\right)=\log_{\large\frac{2}{\sqrt3}}2[/dispmath] Izjednačimo zatim recipročne vrednosti leve i desne strane:
[dispmath](\log_2\sin x)\left(\log_{\large\frac{2}{\sqrt3}}\sin x\right)=\log_2\frac{2}{\sqrt3}\\
(\log_2\sin x)\frac{\log_2\sin x}{\log_2\frac{2}{\sqrt3}}=\log_2\frac{2}{\sqrt3}\\
(\log_2\sin x)^2=\left(\log_2\frac{2}{\sqrt3}\right)^2\\
\log_2\sin x=\pm\log_2\frac{2}{\sqrt3}[/dispmath] Sad na osnovu pravila koje gore napisah, odbacujemo plus i uzimamo minus, pa je to onda [inlmath]\log_2\sin x=\log_2\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], a odatle [inlmath]\sin x=\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath].