MATEMANIJA

Pozdrav, zbunjuje me interval kod jedne jednačine, koju znam da rešim, ali kad treba da se odredi broj rešenja tu nastaje problem;
[dispmath]\sin2x=\cos x[/dispmath] Tražio se broj rešenja i tačan odgovor je [inlmath]7[/inlmath].
I tražilo se da se nađe broj rešenja u intervalu [inlmath]\left[0,3\pi\right][/inlmath]
Jednačina je lagana, ali sam pogrešio jer broj rešenja koji sam dobio je [inlmath]3[/inlmath], a zapravo ima [inlmath]7[/inlmath] rešenja.

Prvo sam mislio da je gore navedeni interval samo [inlmath]0,\pi[/inlmath], jer jer [inlmath]2\pi[/inlmath] pun krug i još jedno [inlmath]\pi[/inlmath] je pola kruga, ali ispostavilo se da nije tako.
Zna li neko u čemu sam pogrešio pri određivanju ovog intervala?
Hvala unapred!

Pozdrav!
Prvo što treba da uradiš je da rešiš jednačinu. Kad to uradiš ostaje samo da odrediš ona rešenja koja "upadaju" u interval [inlmath]\left[0,3\pi\right][/inlmath]. Možeš li napisati svoj postupak rešavanja jednačine, pa da broj rešenja na zadatom intervalu odredimo zajedno?

[dispmath]\sin2x=\cos x[/dispmath][dispmath]2\sin x\cos x-\cos x=0[/dispmath][dispmath](2\sin x-1)\cos x=0[/dispmath][dispmath]\sin x=\frac{1}{2}\;\lor\;\cos x=0[/dispmath][dispmath]1^\circ\quad\sin x=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\text{ ; }k\in\mathbb{Z}\;\land\;x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\text{ ; }k\in\mathbb{Z}[/dispmath] S obzirom da smo ograničeni na interval [inlmath][0,3\pi][/inlmath] imamo:
[dispmath]x_1=\frac{\pi}{6}\text{ ; }x_2=\frac{5\pi}{6}\text{ ; }x_3=\frac{11\pi}{6}\text{ ; }x_4=\frac{17\pi}{6}[/dispmath][dispmath]2^\circ\quad\cos x=0[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi\text{ ; }k\in\mathbb{Z}[/dispmath] Što znači da na intervalu [inlmath][0,3\pi][/inlmath] imamo:
[dispmath]x_5=\frac{\pi}{2}\text{ ; }x_6=\frac{3\pi}{2}\text{ ; }x_7=\frac{5\pi}{2}\text{ ; }[/dispmath]

Hvala puno. Nisam napisao postupak jednačine pošto je prosta pa reko da ne smaram sa tim. Samo me je interval [inlmath]0,3\pi[/inlmath] mučio, i sad vidim da je trebalo zameniti sa [inlmath]k=0,1,2,\ldots[/inlmath] pa na osnovu toga videti koje rešenje pripada/ne pripada zadatom intervalu.

Acim je napisao:Prvo sam mislio da je gore navedeni interval samo [inlmath]0,\pi[/inlmath], jer jer [inlmath]2\pi[/inlmath] pun krug i još jedno [inlmath]\pi[/inlmath] je pola kruga, ali ispostavilo se da nije tako.

Iako se uglovi [inlmath]\pi[/inlmath] i [inlmath]3\pi[/inlmath] na trigonometrijskoj kružnici predstavljaju isto, to su različite vrednosti uglova.