Stranica 1 od 1

Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni MATF 2019.

PostPoslato: Sreda, 14. April 2021, 21:28
od Vivienne
Prijemni ispit MATF – 26. jun 2019.
10. zadatak


Broj rešenja jednačine
[inlmath]\sin(2\cos x+2)=0[/inlmath] u intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath] je:
Odgovor je [inlmath]3[/inlmath]

Kako može da se reši ovaj zadatak, pošto ne znam kako da nacrtam grafik funkcije [inlmath]f(x)=\sin(2\cos x+2)[/inlmath]?
Hvala

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni MATF 2019.

PostPoslato: Sreda, 14. April 2021, 22:01
od Frank
Zbog čega misliš da mora da se crta grafik? Šta te sprečava da rešiš standardnu jednačinu (analitičkim putem)?

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni MATF 2019.

PostPoslato: Sreda, 14. April 2021, 23:00
od Acim
Kao što reče Frank, nema potrebe za bilo kakvim crtanjem grafika, već rešavaj jednačinu na klasičan način. Pošto je zadat interval, za svako rešenje koje dobiješ po [inlmath]x[/inlmath], radiš sledeće;
[dispmath]0\le x\le2\pi[/dispmath]
Potom podeliš sve sa [inlmath]\pi[/inlmath] i rešavanjem tih nejednačina dobićeš vrednosti po [inlmath]k[/inlmath], pri čemu gledaš da ti [inlmath]k[/inlmath] bude ceo broj. Na taj način ćeš videti koja vrednost [inlmath]k[/inlmath] zadovoljava jednačinu, a samim tim i koliki je broj rešenja te j-ne.

Naravno, u ovom intervalu može da se radi i bez ovog načina (odmah vidiš koja [inlmath]k[/inlmath] vrednost odgovara), pošto je jednostavan interval, ali npr da je bio [inlmath]\left(-7\pi,8\pi\right)[/inlmath], zgodno je ovaj način koristiti.

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni MATF 2019.

PostPoslato: Četvrtak, 15. April 2021, 07:53
od Vivienne
Evo kako sam ja rešila zadatak
[dispmath]2\cos x+2=k\pi[/dispmath] I obe strane podelila sa dva
[dispmath]\cos x+1=\frac{k\pi}{2}[/dispmath] I potom sam nacrtala grafik za [inlmath]\cos x[/inlmath] i podigla ga za jedan gore pa sam stavljala različite vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] i dobila da imam tri presečne tačke na datom intervalu.
[inlmath]k=0[/inlmath] ili [inlmath]k=1[/inlmath] jer samo za te vrednosti imam presečne tačke

Iskreno ne bih znala kako da uradim ovaj primer bez crtanja grafika.

Evo i slike

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni MATF 2019.

PostPoslato: Četvrtak, 15. April 2021, 08:25
od Frank
Vivienne je napisao:[dispmath]\cos x+1=\frac{k\pi}{2}[/dispmath]

Odnosno
[dispmath]\cos x=-1+\frac{k\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z}[/dispmath]
Koje sve vrednosti (celobrojne) može uzeti [inlmath]k[/inlmath] tako da desna strana jednakosti pripada intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath]? Pretpostavljam da je jasno zbog čega desna strana mora biti u intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath].
Tačne vrednosti [inlmath]x[/inlmath]-a ne možemo odrediti (doduše, možemo jednu), ali budući da se traži broj rešenja one nam i ne trebaju.

Re: Broj rešenja trigonometrijske jednačine – prijemni MATF 2019.

PostPoslato: Četvrtak, 15. April 2021, 08:39
od Vivienne
Hvala puno, ne znam zašto sam se zbunila kod tog dela