Trigonometrijska jednačina – prijemni FON 2011.

PostPoslato: Sreda, 28. April 2021, 19:49
od Acim
Prijemni ispit FON – 28. jun 2011.
16. zadatak


Zbir svih rešenja jednačine [inlmath]\cos2x+\sin^2x=\frac{3}{4}[/inlmath] koja pripadaju intervalu [inlmath]\left(0,2\pi\right)[/inlmath] je;
Tačan odgovor je [inlmath]4\pi[/inlmath]

Ja sve vreme dobijam da mi je zbir [inlmath]3\pi[/inlmath]

Korišćenjem odgovarajućih identiteta, dobijam;
[dispmath]\cos^2x=\frac{3}{4}\\
\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath] Za [inlmath]\cos x=\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], prvo rešenje je [inlmath]x=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] i jedina vrednost [inlmath]k=0[/inlmath] ispunjava postavljeni interval, tj. jedino rešenje za taj slučaj je [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath]
Drugo rešenje je [inlmath]x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath], gde su moguća rešenja [inlmath]\frac{-\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]\frac{11\pi}{6}[/inlmath]

Drugi slučaj ([inlmath]\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath]) dobijamo [inlmath]x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{-5\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]
Za prvo rešenje jedina vrednost koja zadovoljava interval je [inlmath]x=\frac{5\pi}{6}[/inlmath] a za drugu [inlmath]x=-\frac{5\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{7\pi}{6}[/inlmath]

Sabiranjem ovih vrednosti dobijam gore navedenu pogrešnu vrednost. Ne mogu da uočim gde sam napravio propust.
Hvala unapred na odgovoru.

Re: Trigonometrijska jednačina – prijemni FON 2011.

PostPoslato: Sreda, 28. April 2021, 20:12
od Vivienne
Na datom intervalu rešenja su samo [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath], [inlmath]\frac{5\pi}{6}[/inlmath], [inlmath]\frac{7\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]\frac{11\pi}{6}[/inlmath]. Evo kako je možda najlakše da utvrdiš, nacrtaj brojevnu pravu i unesi te vrednosti i samo uzmi one koje su od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]2\pi[/inlmath] tako ćeš videti da tu ne spadaju negativna rešenja.

Re: Trigonometrijska jednačina – prijemni FON 2011.

PostPoslato: Sreda, 28. April 2021, 23:23
od Daniel
A i bez crtanja brojevne prave jasno je da negativne vrednosti ne mogu pripadati intervalu [inlmath](0,2\pi)[/inlmath]. Donja granica intervala je nula, dakle, sve vrednosti tog intervala moraju biti veće od nule, tj. ne mogu biti negativne.

Znači, suvišna su rešenja [inlmath]-\frac{\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]-\frac{5\pi}{6}[/inlmath]. I zaista, zbir ovih suvišnih rešenja je [inlmath]-\pi[/inlmath], a upravo za toliko se tvoj rezultat i razlikuje od tačnog.