MATEMANIJA

Naci [inlmath]\sin x-\cos x[/inlmath], ako je [inlmath]\sin2x=\frac{2002}{2003}[/inlmath] i [inlmath]\frac{5\pi}{4}<x<\frac{7\pi}{4}[/inlmath].
Resenje je [inlmath]\frac{-1}{\sqrt{2003}}[/inlmath].

Na kraju sam dobila da je [inlmath]\sin x-\cos x=\pm\frac{1}{\sqrt{2003}}[/inlmath].
Posto je [inlmath]x[/inlmath] u trecem ili cetvrtom kvadrantu, kako da odredim da li je [inlmath]\sin x-\cos x[/inlmath] pozitivno ili negatvno?

Jedan način bi bio:
[dispmath]\sin x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\\
=2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{\pi}{4}=\\
=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath] A iz [inlmath]\frac{5\pi}{4}<x<\frac{7\pi}{4}[/inlmath] sledi [inlmath]\pi<x-\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{2}[/inlmath] pa će dati izraz biti manji od nule

Možeš i posmatranjem trigonometrijske kružnice – za uglove u intervalu [inlmath]\left(\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right)[/inlmath] vrednost sinusa će se nalaziti u intervalu [inlmath]\left(-1,-\frac{\sqrt2}{2}\right)[/inlmath], dok će se vrednost kosinusa nalaziti u intervalu [inlmath]\left(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)[/inlmath]. Drugim rečima, sinus mora biti manji od [inlmath]-\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] a kosinus veći od [inlmath]-\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], pa odatle sledi i da izraz [inlmath]\sin x-\cos x[/inlmath] mora biti manji od nule.