MATEMANIJA

Naci najmanju vrednost funkcije [inlmath]f(x) = \frac{x^2}{8} + x \cos x + \cos 2x[/inlmath] .
Resenje: [inlmath]f(x)_{min} = -1[/inlmath]

Uvela sam smenu da je [inlmath]\cos x = t[/inlmath] i dobila sam da je [inlmath]f'(x) = 2t + x[/inlmath], a odatle je [inlmath]\cos x = -\frac{x}{2}[/inlmath].
Kako odatle da nadjem minimum?

Ako uvedemo smenu [inlmath]t=\cos x[/inlmath] u [inlmath]f(x)=\frac{x^2}{8}+xt+2t^2-1[/inlmath] prvi izvod funkcije biće [inlmath]f'(x)=\frac{x}{4} +t+x+4t=\frac{5x}{4}+5t[/inlmath] i [inlmath]f'(x)=0[/inlmath] sledi da je [inlmath]t=-\frac{x}{4}[/inlmath] i ako to zamenimo u funkciju dobija se minimum tj. [inlmath]-1[/inlmath].
Drugi način bi bio sledeći:
[inlmath]f(x)=(\frac{x}{2\sqrt{2}} +\sqrt{2}\cos x)^2-1[/inlmath], da bi f-ja dostigla minimum ovo što je u zagradi mora imati najmanju vrednost

Hvala ti

Vivienne je napisao:Ako uvedemo smenu [inlmath]t=\cos x[/inlmath] u [inlmath]f(x)=\frac{x^2}{8}+xt+2t^2-1[/inlmath] prvi izvod funkcije biće [inlmath]f'(x)=\frac{x}{4} +t+x+4t=\frac{5x}{4}+5t[/inlmath]

@Vivienne. Koliko iznosi [inlmath]t'_x[/inlmath] ?

Pogrešila sam u prvom načinu
Prvi izvod funkcije treba da bude [inlmath]f'(x)=\frac{x}{4}+t+xt'+4tt'=(x+4t)(\frac{1}{4}+t')[/inlmath] i [inlmath]f'(x)=0[/inlmath] sledi [inlmath]t=-\frac{x}{4}[/inlmath] a [inlmath]t'=-\frac{1}{4}[/inlmath].