MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 30. jun 2020.
18. zadatak

Broj svih rešenja jednačine [inlmath]2\text{ tg}^2x\cos x-\text{tg }x+2\sin x=1[/inlmath] na intervalu [inlmath](-\pi,\pi)[/inlmath] iznosi: [inlmath]4[/inlmath].

Kako bi vi resili ovo?

[dispmath]2\tan^2x\cos x-\tan x+2\sin x=1\\
2\frac{\sin^2x}{\cos^\cancel2x}\cancel{\cos x}-\tan x+2\sin x=1\\
2\tan x\sin x-\tan x+2\sin x-1=0\\
\left(2\sin x-1\right)\left(\tan x+1\right)=0\\
\sin x=\frac{1}{2}\;\lor\;\tan x=-1[/dispmath] Domen [inlmath]x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath]
Treba samo da odrediš još rešenja

Hvala! Za [inlmath]\text{tg }x[/inlmath], [inlmath]x=\frac{-\pi}{4}[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{3\pi}{4}[/inlmath]? Nisam siguran kako se odredjuju resenja za [inlmath]\text{tg }x[/inlmath] i [inlmath]\text{ctg }x[/inlmath].

Oba su tačna, možda je najbolje prvo da napišeš rešenje u obliku [inlmath]x=\frac{3\pi}{4}+k\pi[/inlmath] i za različite vrednosti [inlmath]k[/inlmath] imaš više rešenja uzimaš ona koja pripadaju datom intervalu.
Kad rešavaš trigonometrijsku jednačinu najbolje je da crtaš trigonometrijski krug. Vrednosti za tangens posmatraš sa prave koja je paralena [inlmath]y[/inlmath]-osi i seče trig. krug u tački [inlmath](1,0)[/inlmath] a za kotangens sa prave koja je paralelna [inlmath]x[/inlmath]-osi i seče trig. krug u tački [inlmath](0,1)[/inlmath]