MATEMANIJA

Broj resenja jednacine [inlmath](\sin x)^{\sin^2x-0.25}=1[/inlmath] na segmentu [inlmath][0,2\pi][/inlmath]?
Resenje: [inlmath]3[/inlmath]

Slucajevi:

1. [inlmath]\sin x=1[/inlmath]
2. [inlmath]\sin x=-1[/inlmath]
3. [inlmath]\sin^2x=\frac{1}{4}[/inlmath]

Dobila sam da su resenja ovih jednacina: [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath], [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}[/inlmath], [inlmath]x=\frac{\pi}{6}[/inlmath], [inlmath]x=\frac{5\pi}{6}[/inlmath], [inlmath]x=\frac{7\pi}{6}[/inlmath], [inlmath]x=\frac{11\pi}{6}[/inlmath]
Kada sam resenja ubacila u glavnu jednacinu dobila sam da jedino ne moze resenje [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}[/inlmath].
Znaci, [inlmath]5[/inlmath] resenja sam dobila, a treba [inlmath]3[/inlmath]. Gde sam pogresila?

Tačna rešenja su [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]\frac{5\pi}{6}[/inlmath], dok rešenja za koje je [inlmath]\sin x=-\frac{1}{2}[/inlmath] ne prihvatamo, jer u zadatom intervalu ne spadaju negativna rešenja.
E sad, to su [inlmath]2[/inlmath] rešenja, a treće bi bilo da je [inlmath]\sin x=1[/inlmath], a evo i zbog čega;
Kad imaš neki izraz koji dižeš na neki eksponent npr;
[dispmath]A^B=1[/dispmath] Sledi da je [inlmath]A=1[/inlmath] (vrednost za sinus) ili [inlmath]B=0[/inlmath] i da je [inlmath]A[/inlmath] različito od nule, ali pošto nismo ni dobili takva rešenja, poslednji uslov nam nije ni trebao.

Acim je napisao:dok rešenja za koje je [inlmath]\sin x=-\frac{1}{2}[/inlmath] ne prihvatamo, jer u zadatom intervalu ne spadaju negativna rešenja.

Hvala, ali meni i dalje nije jasno zasto ne prihvatamo negativna resenja?

Uzmi bilo koje rešenje jednačine npr [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath] pa to rešenje stavi u dati interval na sledeći način;
[dispmath]0\le\frac{\pi}{2}+2k\pi\le2\pi[/dispmath] Nakon toga, ceo izraz podeli sa [inlmath]\pi[/inlmath].
Dobićeš 2 nejednačine po [inlmath]k[/inlmath], pri čemu je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj, i kad rešiš te 2 n-jne, nađi njihov presek a samim ćeš i videti koja [inlmath]k[/inlmath] vrednost zadovoljava rešenje date jednačine.
Ili evo npr za [inlmath]x=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] radimo sledeće;
[dispmath]0\le\frac{\pi}{6}+2k\pi\le2\pi[/dispmath] Sad delimo sa [inlmath]\pi[/inlmath];
[dispmath]0\le\frac{1+12k}{6}\le2[/dispmath] Odakle se dobija da je [inlmath]k\ge\frac{-1}{12}[/inlmath] i [inlmath]k\le\frac{11}{12}[/inlmath].
Vidimo da je jedina moguća [inlmath]k[/inlmath] vrednost [inlmath]0[/inlmath].
Slično uradiš i za ostala rešenja i tačno ćeš da vidiš koja pripadaju / ne pripadaju.

Acim je napisao:dok rešenja za koje je [inlmath]\sin x=-\frac{1}{2}[/inlmath] ne prihvatamo, jer u zadatom intervalu ne spadaju negativna rešenja.

To što je [inlmath]\sin x[/inlmath] negativan, ne znači da će i rešenje po [inlmath]x[/inlmath] biti negativno.
Primer je upravo slučaj [inlmath]\sin x=-\frac{1}{2}[/inlmath]. Ova jednačina ima beskonačno mnogo rešenja, od kojih dva pripadaju zadatom intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath]. To su rešenja [inlmath]x=\frac{7\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{11\pi}{6}[/inlmath].
Dakle, u zadatku nije rečeno da sinus ne sme biti negativan, već je rečeno da [inlmath]x[/inlmath] mora pripadati intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath].
Prema tome, tačan odgovor jeste [inlmath]5[/inlmath] rešenja.
Pa, hajde da proverimo, uvrštavanjem [inlmath]x=\frac{7\pi}{6}[/inlmath]:
[dispmath](\sin x)^{\sin^2x-0.25}=1\\
\left(\sin\frac{7\pi}{6}\right)^{\sin^2\frac{7\pi}{6}-0.25}=1\\
\left(-\frac{1}{2}\right)^{\left(-\frac{1}{2}\right)^2-0.25}=1\\
\left(-\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}-0.25}=1\\
\left(-\frac{1}{2}\right)^0=1\\
1=1[/dispmath] Analogno se može proveriti i za [inlmath]x=\frac{11\pi}{6}[/inlmath].

Acim je napisao:[dispmath]A^B=1[/dispmath] Sledi da je [inlmath]A=1[/inlmath] (vrednost za sinus) ili [inlmath]B=0[/inlmath] i da je [inlmath]A[/inlmath] različito od nule, ali pošto nismo ni dobili takva rešenja, poslednji uslov nam nije ni trebao.

Moguć je još i slučaj [inlmath]A=-1[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] je paran broj.

Hvala na sugestiji Daniele, nisam uzeo i te slučajeve u obzir.