Drugi probni prijemni ispit FON – 2014.
18. zadatak
Zbir svih realnih rešenja jednačine [inlmath]4\left(\sin^4x+\cos^4x\right)-8\sin2x+3\sin^22x+3=0[/inlmath] na intervalu [inlmath]\left(-\pi,\pi\right)[/inlmath] je;
Tačan odgovor je [inlmath]-\frac{\pi}{2}[/inlmath]
Odgovarajućim transformacijama dobijamo sledeći oblik;
[dispmath]4-8\sin^2x\cos^2x-16\sin x\cos x+12\sin^2x\cos^2x+3=0[/dispmath] Odavde sam uvideo da je najidealnije faktorisati, jer bi dodatnim korišćenjem identiteta samo otežao jednačinu, ali nisam uspeo. Prvo sam broj [inlmath]4[/inlmath] rastavio na [inlmath]2+2[/inlmath], pa probao da faktorišem sa njim i nije htelo, pa sam onda [inlmath]16\sin x\cos x[/inlmath] rastavio na [inlmath]6\sin x\cos x+10\sin x\cos x[/inlmath] ali ni to nije dalo rezultata. Probao sam još par rastavljanja ali nije pomoglo.
Koju bih ideju još mogao da iskoristim kako bih faktorisao sve članove, dalje ću j-nu rešiti lako.
Hvala unapred!