MATEMANIJA

Dobro vece svima,
Naisao sam na jedan problem pri radjenju zbirke prijemnih zadataka za Masinski fakultet.
On glasi: [inlmath]\sin^3x\cos x-\sin x\cos^3x=\frac{1}{8}[/inlmath]. Koliko resenja ima ova jednacina u intervalu [inlmath]\left[0,2\pi\right)[/inlmath]?
Odgovor: [inlmath]8[/inlmath] resenja

Moj nacin razmisljanja i pokusaj:
[dispmath]\sin^3x\cos x-\sin x\cos^3x=\frac{1}{8}\\
\sin x\cos x\left(\sin^2x-\cos^2x\right)=\frac{1}{8}\\
-8\sin x\cos x\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=1\\
-8\sin x\cos x\cos2x=1\\
-4\sin2x\cos2x=1\\
-2\sin4x=1\\
\sin4x=-\frac{1}{2}[/dispmath] Ovo je bila neka moja ideja, ali vidim da mi i ne daje bas trazeni odgovor.

Nov sam na ovom forumu pa jos ne mogu da razumem kako svoj postupak rada da napravim da se razlikuje od ostalog teksta i kako da napisem Pi. Nadam se da sam ispostovao sva pravila foruma.
Hvala unapred za pomoc!

Zisti1912

Pozdrav,
Sada pogledaš za koju je vrednost [inlmath]\sin4x=-\frac{1}{2}[/inlmath]
Prvi slučaj je;
[dispmath]4x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi[/dispmath] tj
[dispmath]x=\frac{7\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}[/dispmath] E sad, kako ti je zadat interval [inlmath][0,2\pi)[/inlmath] radiš sledeće; Prvo rešenje ubaci u navedeni interval
[dispmath]0\le\frac{7\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}<2\pi[/dispmath] Potom čitavu nejednačinu podeli sa [inlmath]\pi[/inlmath]
Nakon toga dobićeš rešenje nejednačine po [inlmath]k[/inlmath] i iz te n-jne vidiš koje vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] možeš ubaciti u navedeni interval, vodeći računa da je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj. Na taj način ćeš videti koliko jednačina ima rešenja i isti postupak primenjuješ i za drugo rešenje - [inlmath]4x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/inlmath].

Acim je napisao:Prvo rešenje ubaci u navedeni interval
[dispmath]0\le\frac{7\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}<1[/dispmath] Potom čitavu nejednačinu podeli sa [inlmath]\pi[/inlmath]

Drugi nacin: Prvo resenje je [inlmath]x=\frac{7\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}[/inlmath], interval je: [inlmath][0,2\pi)[/inlmath] ([inlmath]2\pi=360^\circ[/inlmath]).
Za [inlmath]k=0[/inlmath]: [inlmath]x=52^\circ30'[/inlmath]
Za [inlmath]k=0[/inlmath]: [inlmath]x=142^\circ30'[/inlmath]
I sve tako dok ne dobijes vrednost za [inlmath]k[/inlmath] da ne pripada intervalu
Primetices da je za [inlmath]k=4[/inlmath]: [inlmath]x=412^\circ30'[/inlmath], a to ne pripada intervalu

Zisti1912 je napisao:Nov sam na ovom forumu pa jos ne mogu da razumem kako svoj postupak rada da napravim da se razlikuje od ostalog teksta i kako da napisem Pi.

Procitaj ovo.

Pi se pise unutar inlineMath taga kao \pi

Hvala Vam narode, stvarno ste me spasili.

emi je napisao:Prvo resenje je [inlmath]x=\frac{7\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}[/inlmath], interval je: [inlmath][0,2\pi)[/inlmath] ([inlmath]2\pi=360^\circ[/inlmath]).
Za [inlmath]k=0[/inlmath]: [inlmath]x=52^\circ30'[/inlmath]
Za [inlmath]k=0[/inlmath]: [inlmath]x=142^\circ30'[/inlmath]
I sve tako dok ne dobijes vrednost za [inlmath]k[/inlmath] da ne pripada intervalu
Primetices da je za [inlmath]k=4[/inlmath]: [inlmath]x=412^\circ30'[/inlmath], a to ne pripada intervalu

Nikako ne preporučujem konverziju u stepene, to je nepotrebno gubljenje (ponekad dragocenog) vremena. Sasvim se lepo vidi da za [inlmath]k=1[/inlmath] izraz [inlmath]x=\frac{7\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}[/inlmath] postaje [inlmath]x=\frac{7\pi}{24}+\frac{\pi}{2}[/inlmath], tj. [inlmath]x=\frac{19\pi}{24}[/inlmath], što je sasvim očigledno manje od [inlmath]2\pi[/inlmath], kao što i treba da bude.

Za [inlmath]k=4[/inlmath], izraz će biti [inlmath]x=\frac{7\pi}{24}+\frac{4\pi}{2}[/inlmath], tj. [inlmath]x=\frac{55\pi}{24}[/inlmath] i odmah se vidi da je to veće od [inlmath]2\pi[/inlmath] (naravno, mogli smo [inlmath]x=\frac{7\pi}{24}+\frac{4\pi}{2}[/inlmath] napisati i kao [inlmath]x=\frac{7\pi}{24}+2\pi[/inlmath] pa je onda još očiglednije da je taj izraz veći od [inlmath]2\pi[/inlmath] jer imamo sabiranje neke pozitivne vrednosti i [inlmath]2\pi[/inlmath]).

Znači, ništa stepeni, mnogo je lakše ostaviti u radijanima.