MATEMANIJA

Trebam dokazati da vrijedi tvrdnja za [inlmath]n=1[/inlmath] i za svaki sljedeci znaci [inlmath]n+1[/inlmath].
[dispmath]\cos\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{4}+\cos\frac{x}{8}+\cdots +\cos\frac{x}{2^n}=\frac{\sin x}{2^n\sin\frac{x}{2^n}}[/dispmath]

Jednakost je tačna samo za [inlmath]n=1[/inlmath], dok za [inlmath]n\ge 2[/inlmath] nije tačna.

Bila bi tačna za svako [inlmath]n[/inlmath] kada bismo na levoj strani, umesto sabiranja, imali množenja.

Moja grešaka mnozenje je sa lijeve strane..!! Ali kako da to dokazem..

Nisi napisao koji ti tačno deo u rešavanju predstavlja problem, ali evo ti neka uputstva po kojima treba da radiš.

Pretpostavljam da ti nije problem da dokažeš jednakost za [inlmath]n=1[/inlmath]? Primeniš formulu sinusa dvostrukog ugla na [inlmath]\sin x[/inlmath] u brojiocu na desnoj strani i zatim pokratiš šta se dâ pokratiti...

Zatim, pod pretpostavkom da je jednakost zadovoljena za [inlmath]n=k[/inlmath], dokazuješ da je zadovoljena i za [inlmath]n=k+1[/inlmath] (kao i uvek kad radiš zadatke s indukcijom). Na desnoj strani ćeš, za [inlmath]n=k+1[/inlmath], imati [inlmath]\frac{\sin x}{2^{k+1}\sin\frac{x}{2^{k+1}}}[/inlmath]. Da bi taj izraz sveo na izraz u kojem figuriše [inlmath]\frac{x}{2^k}[/inlmath], pomnoži obe strane razlomka sa [inlmath]\cos\frac{x}{2^{k+1}}[/inlmath], a zatim primeni formulu sinusa dvostrukog ugla na izraz u imeniocu... Dalje će ti biti prilično očigledno.

Da nije mi problem za [inlmath]n=1[/inlmath] ali na [inlmath]n=k+1[/inlmath] neznam kako bi postavio tu jednakost.

Za [inlmath]n=1[/inlmath]:
[dispmath]\cos\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{2\sin\frac{x}{2}}=\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}}=\cos\frac{x}{2}[/dispmath]
Dakle, za [inlmath]n=1[/inlmath] tvrđenje vazi.

Pretpostavimo da važi za [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]\cos\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{4}\cdot\cos\frac{x}{8}\cdot ... \cdot \cos \frac{x}{2^n} = \frac{\sin x}{2^n \cdot \sin {\frac{x}{2^n}}}[/dispmath]Dokazimo da vazi za [inlmath]n+1[/inlmath].
[dispmath]\cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{8}\cdot ...\cdot\cos\frac{x}{2^n}\cdot \cos\frac{x}{2^{n+1}}=\frac{\sin x}{2^n\cdot\sin\frac{x}{2^n}}\cdot\cos\frac{x}{2^{n+1}}[/dispmath]
E sad, transformišemo malo ovaj izraz...
[dispmath]\frac{\sin x}{2^n\cdot\sin\frac{x}{2^n}}\cdot\cos\frac{x}{2^{n+1}}[/dispmath]
Dobijamo:
[dispmath]\frac{\sin x}{2^n\cdot\sin\frac{x}{2^n}}\cdot\cos\frac{x}{2^{n+1}}=\frac{\sin x}{2^{n+1}\cdot\sin\frac{x}{2^{n+1}}\cdot\cos\frac{x}{2^{n+1}}}\cdot\cos\frac{x}{2^{n+1}}=\frac{\sin x}{2^{n+1}\cdot\sin\frac{x}{2^{n+1}}}[/dispmath]

[dispmath]\sin x+\sin 2x+\cdots +\sin nx=\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}x\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}\sin\left(\frac{n}{2}x\right)[/dispmath]
U koraku indukcije dođem do
[dispmath]\frac{\sin\left(\frac{k+1}{2}+x\right)\cdot\sin\left(\frac{k}{2}x\right)+\sin\frac{x}{2}\cdot\sin(k+1)x}{\sin\frac{x}{2}}=\frac{\sin\left(\frac{k+2}{2}+x\right)\cdot\sin\left(\frac{k+1}{2}x\right)}{\sin\frac{x}{2}}[/dispmath]
Pokratit nazivnik i iskoristit neku adicijsku?

Za početak... Ili imaš plus manjka u polaznoj jednakosti, ili imaš pluseve viška u jednakosti do koje si došao:

blake je napisao:[dispmath]\frac{\sin\left(\frac{k+1}{2}{\color{red}+}x\right)\cdot\sin\left(\frac{k}{2}x\right)+\sin\frac{x}{2}\cdot\sin(k+1)x}{\sin\frac{x}{2}}=\frac{\sin\left(\frac{k+2}{2}{\color{red}+}x\right)\cdot\sin\left(\frac{k+1}{2}x\right)}{\sin\frac{x}{2}}[/dispmath]

...mada bih pre rekao da je ovo drugo...

Da, u pravu si. Taj drugi '[inlmath]+[/inlmath]' je '[inlmath]\cdot[/inlmath]' zapravo.

Pokratimo izraze u imeniocu (podrazumevajući da je [inlmath]\frac{x}{2}\ne k\pi[/inlmath], kako bi jednakost uopšte bila definisana):
[dispmath]\frac{\sin\frac{k+1}{2}x\sin\frac{k}{2}x+\sin\frac{x}{2}\sin\left(k+1\right)x}{\cancel{\sin\frac{x}{2}}}=\frac{\sin\frac{k+2}{2}x\sin\frac{k+1}{2}x}{\cancel{\sin\frac{x}{2}}}[/dispmath]
[dispmath]\sin\frac{k+1}{2}x\sin\frac{k}{2}x+\sin\frac{x}{2}\sin\left(k+1\right)x=\sin\frac{k+2}{2}x\sin\frac{k+1}{2}x[/dispmath]
Na [inlmath]\sin\left(k+1\right)x[/inlmath] primenimo formulu sinusa dvostrukog ugla [inlmath]\left(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\right):[/inlmath]
[dispmath]\sin\frac{k+1}{2}x\sin\frac{k}{2}x+2\sin\frac{x}{2}\sin\frac{k+1}{2}x\cos\frac{k+1}{2}x=\sin\frac{k+2}{2}x\sin\frac{k+1}{2}x[/dispmath]
[dispmath]\cancel{\sin\frac{k+1}{2}x}\left(\sin\frac{k}{2}x+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{k+1}{2}x\right)=\sin\frac{k+2}{2}x\cancel{\sin\frac{k+1}{2}x}[/dispmath]
[dispmath]\sin\frac{k}{2}x+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{k+1}{2}x=\sin\frac{k+2}{2}x[/dispmath]
Primenimo transformaciju proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir:
[dispmath]\sin\frac{k}{2}x+\cancel 2\cdot\frac{1}{\cancel 2}\left[\sin\frac{k+2}{2}x+\sin\left(-\frac{k}{2}x\right)\right]=\sin\frac{k+2}{2}x[/dispmath]
[dispmath]\cancel{\sin\frac{k}{2}x}+\sin\frac{k+2}{2}x-\cancel{\sin\frac{k}{2}x}=\sin\frac{k+2}{2}x[/dispmath]
[dispmath]\sin\frac{k+2}{2}x=\sin\frac{k+2}{2}x[/dispmath]