MATEMANIJA

Trebam dokazati da vrijedi tvrdnja za [inlmath]n=1[/inlmath] i za svaki sljedeci znaci [inlmath]n+1[/inlmath].
[dispmath]\cos\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{4}+\cos\frac{x}{8}+\cdots +\cos\frac{x}{2^n}=\frac{\sin x}{2^n\sin\frac{x}{2^n}}[/dispmath]

Jednakost je tačna samo za [inlmath]n=1[/inlmath], dok za [inlmath]n\ge 2[/inlmath] nije tačna.

Bila bi tačna za svako [inlmath]n[/inlmath] kada bismo na levoj strani, umesto sabiranja, imali množenja.

Moja grešaka mnozenje je sa lijeve strane..!! Ali kako da to dokazem..

Nisi napisao koji ti tačno deo u rešavanju predstavlja problem, ali evo ti neka uputstva po kojima treba da radiš.

Pretpostavljam da ti nije problem da dokažeš jednakost za [inlmath]n=1[/inlmath]? Primeniš formulu sinusa dvostrukog ugla na [inlmath]\sin x[/inlmath] u brojiocu na desnoj strani i zatim pokratiš šta se dâ pokratiti...

Zatim, pod pretpostavkom da je jednakost zadovoljena za [inlmath]n=k[/inlmath], dokazuješ da je zadovoljena i za [inlmath]n=k+1[/inlmath] (kao i uvek kad radiš zadatke s indukcijom). Na desnoj strani ćeš, za [inlmath]n=k+1[/inlmath], imati [inlmath]\frac{\sin x}{2^{k+1}\sin\frac{x}{2^{k+1}}}[/inlmath]. Da bi taj izraz sveo na izraz u kojem figuriše [inlmath]\frac{x}{2^k}[/inlmath], pomnoži obe strane razlomka sa [inlmath]\cos\frac{x}{2^{k+1}}[/inlmath], a zatim primeni formulu sinusa dvostrukog ugla na izraz u imeniocu... Dalje će ti biti prilično očigledno.

Da nije mi problem za [inlmath]n=1[/inlmath] ali na [inlmath]n=k+1[/inlmath] neznam kako bi postavio tu jednakost.

Za [inlmath]n=1[/inlmath]:
[dispmath]\cos\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{2\sin\frac{x}{2}}=\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}}=\cos\frac{x}{2}[/dispmath]
Dakle, za [inlmath]n=1[/inlmath] tvrđenje vazi.

Pretpostavimo da važi za [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]\cos\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{4}\cdot\cos\frac{x}{8}\cdot ... \cdot \cos \frac{x}{2^n} = \frac{\sin x}{2^n \cdot \sin {\frac{x}{2^n}}}[/dispmath]Dokazimo da vazi za [inlmath]n+1[/inlmath].
[dispmath]\cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{8}\cdot ...\cdot\cos\frac{x}{2^n}\cdot \cos\frac{x}{2^{n+1}}=\frac{\sin x}{2^n\cdot\sin\frac{x}{2^n}}\cdot\cos\frac{x}{2^{n+1}}[/dispmath]
E sad, transformišemo malo ovaj izraz...
[dispmath]\frac{\sin x}{2^n\cdot\sin\frac{x}{2^n}}\cdot\cos\frac{x}{2^{n+1}}[/dispmath]
Dobijamo:
[dispmath]\frac{\sin x}{2^n\cdot\sin\frac{x}{2^n}}\cdot\cos\frac{x}{2^{n+1}}=\frac{\sin x}{2^{n+1}\cdot\sin\frac{x}{2^{n+1}}\cdot\cos\frac{x}{2^{n+1}}}\cdot\cos\frac{x}{2^{n+1}}=\frac{\sin x}{2^{n+1}\cdot\sin\frac{x}{2^{n+1}}}[/dispmath]

[dispmath]\sin x+\sin 2x+\cdots +\sin nx=\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}x\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}\sin\left(\frac{n}{2}x\right)[/dispmath]
U koraku indukcije dođem do
[dispmath]\frac{\sin\left(\frac{k+1}{2}+x\right)\cdot\sin\left(\frac{k}{2}x\right)+\sin\frac{x}{2}\cdot\sin(k+1)x}{\sin\frac{x}{2}}=\frac{\sin\left(\frac{k+2}{2}+x\right)\cdot\sin\left(\frac{k+1}{2}x\right)}{\sin\frac{x}{2}}[/dispmath]
Pokratit nazivnik i iskoristit neku adicijsku?

Za početak... Ili imaš plus manjka u polaznoj jednakosti, ili imaš pluseve viška u jednakosti do koje si došao:

blake je napisao:[dispmath]\frac{\sin\left(\frac{k+1}{2}{\color{red}+}x\right)\cdot\sin\left(\frac{k}{2}x\right)+\sin\frac{x}{2}\cdot\sin(k+1)x}{\sin\frac{x}{2}}=\frac{\sin\left(\frac{k+2}{2}{\color{red}+}x\right)\cdot\sin\left(\frac{k+1}{2}x\right)}{\sin\frac{x}{2}}[/dispmath]

...mada bih pre rekao da je ovo drugo...

Da, u pravu si. Taj drugi '[inlmath]+[/inlmath]' je '[inlmath]\cdot[/inlmath]' zapravo.

Pokratimo izraze u imeniocu (podrazumevajući da je [inlmath]\frac{x}{2}\ne k\pi[/inlmath], kako bi jednakost uopšte bila definisana):
[dispmath]\frac{\sin\frac{k+1}{2}x\sin\frac{k}{2}x+\sin\frac{x}{2}\sin\left(k+1\right)x}{\cancel{\sin\frac{x}{2}}}=\frac{\sin\frac{k+2}{2}x\sin\frac{k+1}{2}x}{\cancel{\sin\frac{x}{2}}}[/dispmath]
[dispmath]\sin\frac{k+1}{2}x\sin\frac{k}{2}x+\sin\frac{x}{2}\sin\left(k+1\right)x=\sin\frac{k+2}{2}x\sin\frac{k+1}{2}x[/dispmath]
Na [inlmath]\sin\left(k+1\right)x[/inlmath] primenimo formulu sinusa dvostrukog ugla [inlmath]\left(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\right):[/inlmath]
[dispmath]\sin\frac{k+1}{2}x\sin\frac{k}{2}x+2\sin\frac{x}{2}\sin\frac{k+1}{2}x\cos\frac{k+1}{2}x=\sin\frac{k+2}{2}x\sin\frac{k+1}{2}x[/dispmath]
[dispmath]\cancel{\sin\frac{k+1}{2}x}\left(\sin\frac{k}{2}x+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{k+1}{2}x\right)=\sin\frac{k+2}{2}x\cancel{\sin\frac{k+1}{2}x}[/dispmath]
[dispmath]\sin\frac{k}{2}x+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{k+1}{2}x=\sin\frac{k+2}{2}x[/dispmath]
Primenimo transformaciju proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir:
[dispmath]\sin\frac{k}{2}x+\cancel 2\cdot\frac{1}{\cancel 2}\left[\sin\frac{k+2}{2}x+\sin\left(-\frac{k}{2}x\right)\right]=\sin\frac{k+2}{2}x[/dispmath]
[dispmath]\cancel{\sin\frac{k}{2}x}+\sin\frac{k+2}{2}x-\cancel{\sin\frac{k}{2}x}=\sin\frac{k+2}{2}x[/dispmath]
[dispmath]\sin\frac{k+2}{2}x=\sin\frac{k+2}{2}x[/dispmath]

To je formula [inlmath]\frac{1}{2}(\sin(x-y)+\sin(x+y))[/inlmath] ?
Nije mi jasno kako se dobije kut ka šta piše...

Da, to je ta formula. [inlmath]\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right][/inlmath]
Evo postupno:
[dispmath]2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{k+1}{2}x=[/dispmath]
[inlmath]\alpha=\frac{x}{2}[/inlmath]

[inlmath]\beta=\frac{k+1}{2}x[/inlmath]
[dispmath]=\cancel 2\frac{1}{\cancel 2}\left[\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{k+1}{2}x\right)+\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{k+1}{2}x\right)\right]=\sin\left(\frac{1}{2}+\frac{k+1}{2}\right)x+\sin\left(\frac{1}{2}-\frac{k+1}{2}\right)x=[/dispmath]
[dispmath]=\sin\frac{1+k+1}{2}x+\sin\frac{\cancel 1-k-\cancel 1}{2}x=\sin\frac{k+2}{2}x+\sin\frac{-k}{2}x=\sin\frac{k+2}{2}x-\sin\frac{k}{2}x[/dispmath]

XD
Fala! >.>

[dispmath]0\le\sin\pi(x-1)\le 1[/dispmath]
[dispmath]2k\cancel{\pi}\le\cancel{\pi}\left(x-1\right)\le\cancelto{1}{\pi}+2k\cancel{\pi}[/dispmath]
Ne razumin 3. izraz u drugoj nejednadžbi

Ovo [inlmath]\le 1[/inlmath] je suvišan podatak, budući da ionako znamo da sinus uvek mora biti manji ili jednak od jedinice.
Znači, ostaje:
[inlmath]\sin\pi\left(x-1\right)\ge 0[/inlmath]

Pošto se sinus na trigonometrijskoj kružnici očitava na [inlmath]y[/inlmath]-osi, a traži se da sinus bude pozitivan, tražimo za koje će uglove sinus biti pozitivan. Biće pozitivan za one uglove koji na trigonometrijskom krugu leže u oblasti obeleženoj žućkasto:


A to je oblast koja je određena intervalima [inlmath]\left[0,\pi\right][/inlmath], [inlmath]\left[2\pi, 3\pi\right][/inlmath], [inlmath]\left[4\pi,5\pi\right][/inlmath] itd. Pošto se periodično ponavlja, možemo to izraziti preko celog broja [inlmath]k[/inlmath]:
[inlmath]\left[2k\pi,\pi+2k\pi\right],\quad k\in\mathbb{Z}[/inlmath]

Znači, potrebno je da argument sinusa, a to je [inlmath]\pi\left(x-1\right)[/inlmath], bude u tom intervalu:[dispmath]2k\pi\le\pi\left(x-1\right)\le\pi+2k\pi[/dispmath][dispmath]2k\pi\le\pi\left(x-1\right)\le\pi\left(1+2k\right)[/dispmath]Skratimo sve sa [inlmath]\pi[/inlmath]:[dispmath]2k\cancel{\pi}\le\cancel{\pi}\left(x-1\right)\le\cancel{\pi}\left(1+2k\right)[/dispmath]i dobijemo[dispmath]2k\le x-1\le 1+2k[/dispmath]Na svaki od ovih izraza unutar nejednakosti dodamo [inlmath]1[/inlmath]:[dispmath]2k+1\le x-\cancel 1+\cancel 1\le 1+2k+1[/dispmath][dispmath]2k+1\le x\le 2k+2[/dispmath]Ovo, rečima iskazano, znači da se [inlmath]x[/inlmath] nalazi u intervalu između svakog neparnog i prvog sledećeg, parnog broja: između [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], između [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath], između [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath] itd.

Mislim da postupnije nije moglo.

Kako od [inlmath]\cos^2x-\sin^2x[/inlmath] dobit [inlmath]1-2\sin^2x[/inlmath] ?

[dispmath]\sin^2x+\cos^2x=1[/dispmath]
To je glavna formula.
[dispmath]\cos^2x=1-\sin^2x[/dispmath]
to uvrstiš umjesto [inlmath]\cos^2x[/inlmath] i dobiješ ono što želiš

Svi identiteti, formule i transformacije na jednom mjestu: klik

fuck

tenks.