MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 1. jul 2008.
12. zadatak

Izraz [inlmath]\sin\alpha+\sin\left(\alpha+\frac{2\pi}{3}\right)+\sin\left(\alpha+\frac{4\pi}{3}\right)[/inlmath] identicki je jednak izrazu:
Resenje: [inlmath]0[/inlmath]

Zadatak sam resila primenom adicione formule.
U zbirci su dali jos jedan nacin resavanja ovakvih tipova zadataka, i bas taj postupak me buni, pa ako bi neko mogao da mi pojasni. Hvala

Resenje iz zbirke: Na slici je prikazan jedinicni krug (sliku nisam ubacila) u kome su konstruisana tri vektora koji sa pozitivnom [inlmath]x[/inlmath]-osom zaklapa uglove [inlmath]\alpha[/inlmath], [inlmath]\alpha+\frac{2\pi}{3}[/inlmath], [inlmath]\alpha+\frac{4\pi}{3}[/inlmath]. Vrhovi ovih vektora su temena jednakostranicnog trougla, tako da je njihov zbir jednak nula-vektoru. Zbog toga je zbir projekcija tih vektora na [inlmath]y[/inlmath]-osu jednak nuli.

Nisam siguran da sam razumeo šta te buni u njihovom rešenju. Po meni, sasvim je jasno i detaljno objašnjeno, i zaista ne vidim šta bih njihovom objašnjenju mogao dodati. Možeš li izdvojiti deo koji ti nije jasan?

emi je napisao:Zbog toga je zbir projekcija tih vektora na [inlmath]y[/inlmath]-osu jednak nuli.

Buni me ovaj deo.
I kada sve mozemo da primenimo ovaj metod resavanja?

Ako si razumela zbog čega posmatrani zbir predstavlja nula-vektor, onda je sasvim logično da je bilo koja projekcija tog zbira (pa samim tim i projekcija na [inlmath]y[/inlmath]-osu) jednaka nuli (slično kao što projekcija tačke uvek mora biti isključivo tačka, nikako duž).
Pod [inlmath]y[/inlmath]-osom se ovde podrazumeva [inlmath]y[/inlmath]-osa trigonometrijske kružnice (onoga što su u rešenju nazvali jedinični krug), a to je upravo ona osa na kojoj očitavamo vrednost sinusa (kao što kosinus očitavamo na [inlmath]x[/inlmath]-osi). Pošto ovde posmatramo vrednosti sinusa tri ugla (koji se razlikuju za po [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath]), otuda posmatramo zbir projekcija tih vektora na [inlmath]y[/inlmath]-osu (tj. projekciju njihovog zbira na [inlmath]y[/inlmath]-osu, to je isto).

emi je napisao:I kada sve mozemo da primenimo ovaj metod resavanja?

Teško je dati odgovor na ovo pitanje, jer se matematika ne radi po šablonu već se radi s razumevanjem. Ovde se, konkretno, mogla uočiti ta pravilnost po kojoj su raspoređeni vektori na trigonometrijskoj kružnici, što je dovelo do ideje da se ovaj zadatak može uraditi i preko vektora.