Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Trigonometrijska jednacina – prijemni GRF 2014.

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Trigonometrijska jednacina – prijemni GRF 2014.

Postod kagejama02 » Četvrtak, 17. Jun 2021, 14:42

Prijemni ispit GRF – 9. jul 2014.
19. zadatak


Zadatak glasi:

Broj resenja jednacine [inlmath]\cos x+|\cos x|=2-\frac{2}{\pi}x[/inlmath] jednak je:

Ovde imamo dva slucaja [inlmath]\cos x;\;-\cos x[/inlmath]

poceo sam da radim:
[dispmath]\cos x+\cos x=2-\frac{2}{\pi}x\\
2\cos x=2-\frac{2}{\pi}x\\
\cos x=1-\frac{1}{\pi}x\\
\cos x=\frac{\pi-x}{\pi}[/dispmath] I tu sam stao, u resenju pise da je broj resenja [inlmath](3)[/inlmath]; 19. zadatak sa https://www.grf.bg.ac.rs/p/docs/zadaci_ ... 601513.pdf
起死回生 - “Wake from death and return to life”
Korisnikov avatar
 
Postovi: 22
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Trigonometrijska jednacina – prijemni GRF 2014.

Postod Kosinus » Ponedeljak, 21. Jun 2021, 22:20

[inlmath]1.[/inlmath] Za slučaj kada je [inlmath]\cos x<0[/inlmath] imamo jedno rješenje: [inlmath]x=\pi[/inlmath]

[inlmath]2.[/inlmath] Za slučaj kada je [inlmath]\cos x\geq0[/inlmath] dobije se jednačina koju si napisao: [inlmath]\cos x=1-\frac{x}{\pi}[/inlmath]

Ako se ne varam, ovo je transcendentna jednačina, što znači da se do rješenja ne može doći analitičkim putem, zbog toga se i traži samo broj rješenja jednačine, a ne konkretna rješenja.
Najlakše je grafički odrediti koliko ima rješenja u ovom drugom slučaju ([inlmath]\cos x\geq0[/inlmath]) ako se nacrtaju funkcije [inlmath]\cos x[/inlmath] i [inlmath]1-\frac{x}{\pi}[/inlmath].

Presjek funkcija.png
Presjek funkcija.png (19.06 KiB) Pogledano 814 puta

Vidi se da ove funkcije imaju [inlmath]3[/inlmath] presjeka, s tim da su nama u interesu samo prva dva jer je tu [inlmath]\cos x[/inlmath] pozitivno.

U prvom slučaju imamo jedno rješenje i u drugom slučaju imamo dva rješenja, što znači da polazna jednačina ima ukupno [inlmath]3[/inlmath] rješenja.
Korisnikov avatar
Kosinus  OFFLINE
 
Postovi: 42
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 52 puta

Re: Trigonometrijska jednacina – prijemni GRF 2014.

Postod kagejama02 » Utorak, 22. Jun 2021, 14:45

Ja sam ovo pokusao preko desmosa da skontam (desmos - sajt za crtanje grafika), i kao skontao sam?

Ali ne pada mi na pamet kako bih na ispitu pokusao da resim ovaj zadatak, gore sam inace izostavio namerno prvi uslov jer sam njega resio lakse...
起死回生 - “Wake from death and return to life”
Korisnikov avatar
 
Postovi: 22
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Trigonometrijska jednacina – prijemni GRF 2014.

Postod Micko » Nedelja, 27. Jun 2021, 21:06

Jel moze neko objasnjenje kako se crtaju ovi grafici, za [inlmath]\cos x[/inlmath] i znam ali ovo ostalo....
Micko  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Trigonometrijska jednacina – prijemni GRF 2014.

Postod Kosinus » Nedelja, 27. Jun 2021, 21:53

U ovom slučaju je trebalo nacrtati linearnu funkciju pored funkcije [inlmath]\cos x[/inlmath]. Linearna funkcija se najlakše crta (po mom mišljenju) ako odredimo presječne tačke sa osama.

Konkretno treba prvo postaviti [inlmath]y=0[/inlmath] i pronaći vrijednost [inlmath]x[/inlmath], tako dobijemo tačku [inlmath](x,0)[/inlmath], koja se nalazi na [inlmath]x[/inlmath] osi.

Onda postavimo [inlmath]x=0[/inlmath] i pronađemo vrijednost [inlmath]y[/inlmath], tako dobijemo tačku [inlmath](0,y)[/inlmath], koja se nalazi na [inlmath]y[/inlmath] osi.

Onda jednostavno povučemo liniju kroz dobijene dvije tačke i grafik je nacrtan.

U ovom slučaju te dvije tačke su: [inlmath](0,1)[/inlmath] i [inlmath](\pi,0)[/inlmath].
Korisnikov avatar
Kosinus  OFFLINE
 
Postovi: 42
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 52 puta

Re: Trigonometrijska jednacina – prijemni GRF 2014.

Postod Daniel » Ponedeljak, 05. Jul 2021, 13:19

Moguće je i bez razdvajanja slučajeva, tako što se odmah nacrta grafik za [inlmath]\cos x+|\cos x|[/inlmath] (na slici crveno), a zatim preko njega i grafik [inlmath]2-\frac{2}{\pi}x[/inlmath] (na slici plavo):

grafici i preseci.png
grafici i preseci.png (1.72 KiB) Pogledano 731 puta

S tim da sada, naravno, uzimamo u obzir sve presečne tačke ovih grafika – a ima ih ukupno [inlmath]3[/inlmath].

Oba načina su podjednako ispravna – pa koji se kome više sviđa...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 34 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 00:47 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs