MATEMANIJA

Prijemni ispit GRF – 9. jul 2014.
19. zadatak

Zadatak glasi:

Broj resenja jednacine [inlmath]\cos x+|\cos x|=2-\frac{2}{\pi}x[/inlmath] jednak je:

Ovde imamo dva slucaja [inlmath]\cos x;\;-\cos x[/inlmath]

poceo sam da radim:
[dispmath]\cos x+\cos x=2-\frac{2}{\pi}x\\
2\cos x=2-\frac{2}{\pi}x\\
\cos x=1-\frac{1}{\pi}x\\
\cos x=\frac{\pi-x}{\pi}[/dispmath] I tu sam stao, u resenju pise da je broj resenja [inlmath](3)[/inlmath]; 19. zadatak sa https://www.grf.bg.ac.rs/p/docs/zadaci_ ... 601513.pdf

[inlmath]1.[/inlmath] Za slučaj kada je [inlmath]\cos x<0[/inlmath] imamo jedno rješenje: [inlmath]x=\pi[/inlmath]

[inlmath]2.[/inlmath] Za slučaj kada je [inlmath]\cos x\geq0[/inlmath] dobije se jednačina koju si napisao: [inlmath]\cos x=1-\frac{x}{\pi}[/inlmath]

Ako se ne varam, ovo je transcendentna jednačina, što znači da se do rješenja ne može doći analitičkim putem, zbog toga se i traži samo broj rješenja jednačine, a ne konkretna rješenja.
Najlakše je grafički odrediti koliko ima rješenja u ovom drugom slučaju ([inlmath]\cos x\geq0[/inlmath]) ako se nacrtaju funkcije [inlmath]\cos x[/inlmath] i [inlmath]1-\frac{x}{\pi}[/inlmath].


Vidi se da ove funkcije imaju [inlmath]3[/inlmath] presjeka, s tim da su nama u interesu samo prva dva jer je tu [inlmath]\cos x[/inlmath] pozitivno.

U prvom slučaju imamo jedno rješenje i u drugom slučaju imamo dva rješenja, što znači da polazna jednačina ima ukupno [inlmath]3[/inlmath] rješenja.

Ja sam ovo pokusao preko desmosa da skontam (desmos - sajt za crtanje grafika), i kao skontao sam?

Ali ne pada mi na pamet kako bih na ispitu pokusao da resim ovaj zadatak, gore sam inace izostavio namerno prvi uslov jer sam njega resio lakse...

Jel moze neko objasnjenje kako se crtaju ovi grafici, za [inlmath]\cos x[/inlmath] i znam ali ovo ostalo....

U ovom slučaju je trebalo nacrtati linearnu funkciju pored funkcije [inlmath]\cos x[/inlmath]. Linearna funkcija se najlakše crta (po mom mišljenju) ako odredimo presječne tačke sa osama.

Konkretno treba prvo postaviti [inlmath]y=0[/inlmath] i pronaći vrijednost [inlmath]x[/inlmath], tako dobijemo tačku [inlmath](x,0)[/inlmath], koja se nalazi na [inlmath]x[/inlmath] osi.

Onda postavimo [inlmath]x=0[/inlmath] i pronađemo vrijednost [inlmath]y[/inlmath], tako dobijemo tačku [inlmath](0,y)[/inlmath], koja se nalazi na [inlmath]y[/inlmath] osi.

Onda jednostavno povučemo liniju kroz dobijene dvije tačke i grafik je nacrtan.

U ovom slučaju te dvije tačke su: [inlmath](0,1)[/inlmath] i [inlmath](\pi,0)[/inlmath].

Moguće je i bez razdvajanja slučajeva, tako što se odmah nacrta grafik za [inlmath]\cos x+|\cos x|[/inlmath] (na slici crveno), a zatim preko njega i grafik [inlmath]2-\frac{2}{\pi}x[/inlmath] (na slici plavo):


S tim da sada, naravno, uzimamo u obzir sve presečne tačke ovih grafika – a ima ih ukupno [inlmath]3[/inlmath].

Oba načina su podjednako ispravna – pa koji se kome više sviđa...