MATEMANIJA

Pozdrav svima,

Radeci starije prijemne sa Masinskog fakulteta naisao sam na zadatak koji glasi:

Skup svih resenja nejednacine [inlmath]\sin x-\cos x<1[/inlmath] u intervalu [inlmath][0,2\pi)[/inlmath]je:
Resenje: [inlmath]\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup(\pi,2\pi)[/inlmath]

Posto smo radili ovaj zadatak na pripremama, receno mi je da treba da se izvuce [inlmath]\sqrt2[/inlmath] ispred i dobija se onda [inlmath]\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)<1[/inlmath]. Meni nije jasno zasto se ovo radi i kako smo onda dobili ovakav sinus? Ako moze neko objasnjenje.

Hvala unapred,
Zisti1912

Ovo ti je u stvari ovaj oblik j-ne;
[dispmath]A\sin x+B\cos x=C[/dispmath] Koja se na kraju svodi na oblik;
[dispmath]A\sin\left(x+\varphi\right)[/dispmath] S tim što u ovoj n-jni ide [inlmath]-[/inlmath] samo.
Pri čemu je [inlmath]a=\sqrt{A^2+B^2}[/inlmath], a kako su tebi slobodni članovi uz [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]a[/inlmath] će biti jednako [inlmath]\sqrt2[/inlmath]
[inlmath]\text{tg }\phi=\frac{B}{A}[/inlmath] tj. u ovom slučaju [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]
Na kraju;
[dispmath]\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)<1[/dispmath] Nakon toga podeliš sa [inlmath]\sqrt2[/inlmath] i racionališeš i na kraju primeniš adicionu za sinus.

P.S. Da ti je npr stajalo uzastopno [inlmath]\sin3x[/inlmath] i [inlmath]\cos3x[/inlmath] opet bi isto radio samo bi dodatna izmena bila što bi u zagradi umesto [inlmath]x[/inlmath] išao [inlmath]3x[/inlmath]

Aha razumeo sam, da nisam znao da postoji ta formula. Hvala!

Nema potrebe za pomenutom formulom. Prvo levu stranu nejednačine pomnožimo sa [inlmath]\frac{2}{2}[/inlmath], potom [inlmath]2[/inlmath] u brojiocu napišemo kao[inlmath]\left(\sqrt2\right)^2[/inlmath]. Kada izvučemo [inlmath]\sqrt2[/inlmath] ispred zagrade u istoj možemo uočiti adicionu formulu za sinus razlike.

Slažem se, nego sam ja navikao da radim tako, meni lično najsigurniji način.

Acim je napisao:[dispmath]{\color{red}A}\sin\left(x+\varphi\right)[/dispmath] S tim što u ovoj n-jni ide [inlmath]-[/inlmath] samo.
Pri čemu je [inlmath]a=\sqrt{A^2+B^2}[/inlmath],

Umesto crvenog [inlmath]A[/inlmath] treba da stoji [inlmath]a[/inlmath] ([inlmath]a\ne A[/inlmath]).

Acim je napisao:[inlmath]\text{tg }\phi=\frac{B}{A}[/inlmath] tj. u ovom slučaju [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]

Treba minus, tj. [inlmath]\text{tg }\phi=-\frac{\pi}{4}[/inlmath] (kako si posle i radio).

U ovom postu je takođe objašnjen taj postupak.

Frank je napisao:Prvo levu stranu nejednačine pomnožimo sa [inlmath]\frac{2}{2}[/inlmath], potom [inlmath]2[/inlmath] u brojiocu napišemo kao[inlmath]\left(\sqrt2\right)^2[/inlmath]. Kada izvučemo [inlmath]\sqrt2[/inlmath] ispred zagrade u istoj možemo uočiti adicionu formulu za sinus razlike.

A možemo i obe strane nejednačine pomnožiti sa [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] (pošto je [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}>0[/inlmath], smer znaka nejednakosti se ne menja), tako da nejednačina postaje
[dispmath]\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x<\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath] A pošto je [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}=\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}[/inlmath], to dalje možemo pisati kao
[dispmath]\sin x\cos\frac{\pi}{4}-\cos x\sin\frac{\pi}{4}<\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath] i na levoj strani prepoznajemo adicionu za sinus, tj. izraz [inlmath]\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath].

Takođe smo [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x<\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] mogli zapisati i kao
[dispmath]\sin x\sin\frac{\pi}{4}-\cos x\cos\frac{\pi}{4}<\frac{\sqrt2}{2}\\
-\left(\cos x\cos\frac{\pi}{4}-\sin x\sin\frac{\pi}{4}\right)<\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath] i onda na levoj strani prepoznajemo adicionu za kosinus, tj. [inlmath]-\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath] – postupak je vrlo sličan.

---

A treći način bi bio da posmatramo dva slučaja,

• [inlmath]\sin x-\cos x<0[/inlmath] (ovo se radi prebacivanjem [inlmath]\cos x[/inlmath] na desnu stranu i deljenjem obe strane sa [inlmath]\cos x[/inlmath] pri čemu, opet, posmatramo podslučajeve [inlmath]\cos x<0[/inlmath] i [inlmath]\cos x>0[/inlmath] – za podslučaj [inlmath]\cos x=0[/inlmath] odmah dobijamo [inlmath]\sin x<0[/inlmath] i to lako rešavamo);
• [inlmath]\sin x-\cos x\ge0[/inlmath] (kvadriranjem [inlmath]\sin x-\cos x<1[/inlmath] dobijamo [inlmath]2\sin x\cos x>0[/inlmath] tj. [inlmath]\sin2x>0[/inlmath], što se lako rešava).

Na kraju, naravno, nađemo uniju rešenja ova dva slučaja.