Prijemni ispit FON – 7. septembar 2017.
20. zadatak
Zbir kvadrata najvećeg negativnog i najmanjeg pozitivnog rešenja jednačine [inlmath]\sin^4\frac{x}{2}+\cos^4\frac{x}{2}=\frac{7}{8}[/inlmath] jednak je;
Tačan odgovor je [inlmath]\frac{\pi^2}{18}[/inlmath]
Jednačinu sam zapisao u sledećem obliku;
[dispmath]\left(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\right)^2-2\sin^2\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}=\frac{7}{8}\\
\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1}{4}[/dispmath] Prvi slučaj; [inlmath]\sin\frac{x}{2}=\frac{1}{2}[/inlmath]
Jedno rešenje je [inlmath]\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] tj. [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+4k\pi[/inlmath]
Za [inlmath]k=0[/inlmath] dobijamo [inlmath]x=\frac{\pi}{3}[/inlmath]
Za [inlmath]k=-1[/inlmath], [inlmath]x=\frac{-11\pi}{3}[/inlmath]
Drugo rešenje je [inlmath]x=\frac{5\pi}{3}+4k\pi[/inlmath]
za [inlmath]k=0[/inlmath], [inlmath]x=\frac{5\pi}{3}[/inlmath]
za [inlmath]k=-1[/inlmath], [inlmath]x=\frac{-7\pi}{3}[/inlmath]
Drugi slučaj; [inlmath]\sin\frac{x}{2}=\frac{-1}{2}[/inlmath]
Prvo rešenje je [inlmath]x=\frac{7\pi}{3}+4k\pi[/inlmath]
Redom rešenja za [inlmath]k=0,-1[/inlmath] su [inlmath]x=\frac{7\pi}{3},\:x=\frac{-5\pi}{3}[/inlmath]
Drugo rešenje je [inlmath]x=\frac{11\pi}{3}+4k\pi[/inlmath]
Za [inlmath]k=0,-1[/inlmath], redom imamo [inlmath]x=\frac{11\pi}{3},\:x=-\frac{\pi}{3}[/inlmath]
Prema ovome kako sam radio, najmanje pozitivno rešenje je [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath], a najveće negativno [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath]
Njihov zbir kvadrata je [inlmath]\frac{2\pi^2}{9}[/inlmath] što je pogrešno.
Gde sam napravio propust?