Mihajlo Miki je napisao:Inače moja rešenja su: [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], [inlmath]x=k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath].
Za nalaženje unije ovih rešenja ubedljivo je najelegantniji način trigonometrijska kružnica. Na nju se ucrta svaki od ovih skupova rešenja, iz čega se odmah očita čemu je jednaka unija:
- trigonometrijska kruznica.png (2.68 KiB) Pogledano 388 puta
Može i bez trigonometrijske kružnice, ali je nešto teže i potrebno je nešto više vremena. Ako prvi skup rešenja [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] razložimo na slučaj kada je [inlmath]k[/inlmath] neparno i na slučaj kada je [inlmath]k[/inlmath] parno, tj. na slučajeve [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+(2l+1)\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2l\pi[/inlmath] ([inlmath]l\in\mathbb{Z}[/inlmath]), vidimo da je treći skup rešenja [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath] zapravo već sadržan u ovom prvom skupu rešenja (kada je u prvom slučaju [inlmath]k[/inlmath] parno), tako da taj treći skup rešenja možemo zanemariti.
Ostaju nam, dakle, prvi i drugi slučaj, [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=k\pi[/inlmath].
- [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] možemo napisati kao [inlmath]x=\frac{(2k+1)\pi}{2}[/inlmath];
- [inlmath]x=k\pi[/inlmath] možemo napisati kao [inlmath]x=\frac{(2k)\pi}{2}[/inlmath].
[inlmath](2k+1)[/inlmath] i [inlmath](2k)[/inlmath] predstavljaju sve neparne odnosno sve parne brojeve, a njihova unija će biti svi celi brojevi, pa tako isto i ova dva skupa rešenja možemo grupisati u novi skup rešenja (njihovu uniju), u kojoj ćemo umesto [inlmath](2k+1)[/inlmath] i [inlmath](2k)[/inlmath] imati, jednostavno, samo [inlmath]k[/inlmath]. To jest, [inlmath]x=\frac{k\pi}{2}[/inlmath].
Mogli smo i na malo „seljačkiji“ način, tako što razvijemo skupove rešenja,
- [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\Longrightarrow\;x=\ldots,-\frac{5\pi}{2},-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\ldots[/inlmath]
- [inlmath]x=k\pi\;\Longrightarrow\;x=\ldots,-3\pi,-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi,3\pi,\ldots[/inlmath]
- [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\;\Longrightarrow\;x=\ldots,-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\ldots[/inlmath]
pa onda kad „učešljamo“ sva ova rešenja jedna među druge, dobijemo kao uniju [inlmath]x=\ldots,-3\pi,-\frac{5\pi}{2},-2\pi,-\frac{3\pi}{2},-\pi,-\frac{\pi}{2},0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi,\frac{5\pi}{2},3\pi,\ldots[/inlmath] a to se može kratko zapisati kao [inlmath]x=\frac{k\pi}{2}[/inlmath].
Svakako je „strong, strong recommend“ – trigonometrijska kružnica. Ako nisi dobro upoznat s njom, zaista savetujem da izdvojiš nešto vremena da je dobro provežbaš, to uloženo vreme će ti se prilikom rešavanja zadataka višestruko isplatiti.