MATEMANIJA

Pozdrav, jednačina glasi ovako:
[dispmath]\cos x=\cos3x+2\sin2x[/dispmath]
Ja sam je uradio tako što sam iskoristio formule za [inlmath]\cos3x[/inlmath] i [inlmath]\sin2x[/inlmath]. Nakon sređivanja dobio sam tri jednačine:
[dispmath]\cos x=0[/dispmath][dispmath]\sin x=0[/dispmath][dispmath]\sin x=1[/dispmath] Uradio sam ih i dobio rešenja.
Oni su u svom rešenju radili preko transformacije razlike u proizvod i dobili [inlmath]\sin2x=0[/inlmath] i [inlmath]\sin x=1[/inlmath], što je, pretpostavljam, isto kao i ovo moje.
Rešavanjem ove dve jednačine dobili su dva rešenja, tj. dva oblika od kojih su uzeli samo jedan, jer on obuhvata i rešenja ovog drugog, a taj oblik je [inlmath]x=\frac{k\pi}{2}[/inlmath].
Moje pitanje je, kako da svoja tri rešenja zapravo i ja svedem na ovaj oblik, odnosno kako da znam da ovaj oblik iz njihovog rešenja obuhvata i sva rešenja iz moja tri koja sam dobio?
Inače moja rešenja su: [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], [inlmath]x=k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath].

Oblike rešenja koje si dobio predstavljaju skupove rešenja i unija tih skupova je rešenje date jednačine. Mislim da ne postoji neki određen postupak kojim bi uporedio dva oblika rešenja, nego da ih uporediš kao skupove. Naravno, pokušaj svoj skup rešenja da predstaviš u što jednostavnijem obliku. U ovom zadatku, odredi uniju svojih rešenja, sortiraj dobijeni skup i napisi pravilo kojim bi opisao dobijeni skup rešenja.

Mihajlo Miki je napisao:Inače moja rešenja su: [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], [inlmath]x=k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath].

Za nalaženje unije ovih rešenja ubedljivo je najelegantniji način trigonometrijska kružnica. Na nju se ucrta svaki od ovih skupova rešenja, iz čega se odmah očita čemu je jednaka unija:


Može i bez trigonometrijske kružnice, ali je nešto teže i potrebno je nešto više vremena. Ako prvi skup rešenja [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] razložimo na slučaj kada je [inlmath]k[/inlmath] neparno i na slučaj kada je [inlmath]k[/inlmath] parno, tj. na slučajeve [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+(2l+1)\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2l\pi[/inlmath] ([inlmath]l\in\mathbb{Z}[/inlmath]), vidimo da je treći skup rešenja [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath] zapravo već sadržan u ovom prvom skupu rešenja (kada je u prvom slučaju [inlmath]k[/inlmath] parno), tako da taj treći skup rešenja možemo zanemariti.
Ostaju nam, dakle, prvi i drugi slučaj, [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=k\pi[/inlmath].

• [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath] možemo napisati kao [inlmath]x=\frac{(2k+1)\pi}{2}[/inlmath];
• [inlmath]x=k\pi[/inlmath] možemo napisati kao [inlmath]x=\frac{(2k)\pi}{2}[/inlmath].

[inlmath](2k+1)[/inlmath] i [inlmath](2k)[/inlmath] predstavljaju sve neparne odnosno sve parne brojeve, a njihova unija će biti svi celi brojevi, pa tako isto i ova dva skupa rešenja možemo grupisati u novi skup rešenja (njihovu uniju), u kojoj ćemo umesto [inlmath](2k+1)[/inlmath] i [inlmath](2k)[/inlmath] imati, jednostavno, samo [inlmath]k[/inlmath]. To jest, [inlmath]x=\frac{k\pi}{2}[/inlmath].

---

Mogli smo i na malo „seljačkiji“ način, tako što razvijemo skupove rešenja,

• [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\Longrightarrow\;x=\ldots,-\frac{5\pi}{2},-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\ldots[/inlmath]
• [inlmath]x=k\pi\;\Longrightarrow\;x=\ldots,-3\pi,-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi,3\pi,\ldots[/inlmath]
• [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\;\Longrightarrow\;x=\ldots,-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\ldots[/inlmath]

pa onda kad „učešljamo“ sva ova rešenja jedna među druge, dobijemo kao uniju [inlmath]x=\ldots,-3\pi,-\frac{5\pi}{2},-2\pi,-\frac{3\pi}{2},-\pi,-\frac{\pi}{2},0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi,\frac{5\pi}{2},3\pi,\ldots[/inlmath] a to se može kratko zapisati kao [inlmath]x=\frac{k\pi}{2}[/inlmath].

Svakako je „strong, strong recommend“ – trigonometrijska kružnica. Ako nisi dobro upoznat s njom, zaista savetujem da izdvojiš nešto vremena da je dobro provežbaš, to uloženo vreme će ti se prilikom rešavanja zadataka višestruko isplatiti.