MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF – 28. jun 2021.
9. zadatak

Pozdrav, da li bi neko mogao da mi kaze hint za ovaj zadatak

Vrednost izraza [inlmath]\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}[/inlmath] jeste:

Pokusavao sam formule za zbir cosinusa, svodjenje na dvostruki ugao ali nista ne deluje, razmisljao sam [inlmath]180[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]7[/inlmath] stoga bih trebao da se oslobodim te sedmice ali ne znam kako
Rešenje [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]

Proširi izraz sa [inlmath]\sin\frac{\pi}{7}[/inlmath], a zatim transformacije proizvoda u zbir/razliku i svodjenje na prvi kvadrant.

Hvala! Zaista se sve pokrati i na kraju skrate sinusi, ja sam ranije samo prvi sabirak prosirivao sa [inlmath]\sin\frac{\pi}{7}[/inlmath],... zanima me jos samo da li ima neka generalna "fora" za ovakve zadatke odnosno sa cim prosirivati, sta prosirivati itd. Hvala

Buduci da su na prijemnom ponudjena resenja, ovaj zadatak se moze resiti na jos jedan nacin:
Posmatrajmo prvi kvadrant. Ako zamislimo trigonometrijsku kruznicu lako mozemo zakljuciti da sto je ugao manji to je njegov kosinus veci. Dalje imamo da je
[dispmath]\cos\frac{\pi}{7}\approx\cos25^\circ>\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath][dispmath]\cos\frac{2\pi}{7}\approx\cos51^\circ>\cos60^\circ=\frac{1}{2}[/dispmath] Kad od neceg malo veceg od [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] oduzmemo nesto malo vece od [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] dobijamo nesto malo manje od [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], tj. [inlmath]\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}[/inlmath] je malo manje od [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]. Preciznost "malo manjeg" nam nije bitna.
Analogno ovome imamo da je
[dispmath]\cos\frac{3\pi}{7}\approx\cos75^\circ<\cos60^\circ=\frac{1}{2}[/dispmath] Kad saberemo nesto malo manje od [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] sa necim malo manjim od [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] moramo dobiti pozitivan broj koji je sigurno manji od [inlmath]1[/inlmath].
Ako posle ove analize pogledamo ponudjene odgovore, vidimo da je jedini prihvatljiv odgovor [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath].


Da je kojim slucajem medju ponudjenim odgovorima stajalo [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath] onda bi ovaj nacin resavanja bio veoooma rizican. U tom slucaju bi preciznost "neceg malo manjeg/veceg" bila veoma bitna.
Preporucujem ovaj nacin resevanja jer ne moze da se omasi u znaku. Kada se primenjuju silne formule za transformaciju zbira u proizvod i obratno vrlo lako se pogresi u znaku, i sto je najgore, dobije se netacno resenje koje stoji medju ponudjenim odgovorima. Takodje ovaj nacin je brzi.