Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Identitet s tangensima – dokazivanje

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Identitet s tangensima – dokazivanje

Postod StrahinjaV » Utorak, 14. Jun 2022, 13:25

Pozdrav svima,
vežbao sam zadatke iz trigonometrije i naišao sam na ovaj:
[dispmath]\text{tg}^2\,10^\circ+\text{tg}^2\,50^\circ+\text{tg}^2\,70^\circ=9[/dispmath] Zadatak mi je zanimljiv, ali težak jer nisam uspeo da ga rešim i ponestalo mi je ideja.
Naime, pokušavao sam da tangense pretvorim u kotangense da bih iskoristio u nekom obliku formulu:
[dispmath]\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ=\frac{1}{8}[/dispmath] pokušavao sam više puta na ovaj način da rešim, pošto sam mislio da sam nešto pogrešio u računanju svaki put, ali mi uvek na kraju dođe nesvodljivi razlomak (tj. razlomak koji ne umem da svedem).
Nakon toga sam prestao da pokušavam, ali još uvek želim da znam kako se rešava.
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Identitet s tangensima – dokazivanje

Postod Daniel » Četvrtak, 16. Jun 2022, 00:05

Pre svega, možemo uočiti da je zadati izraz jednak sledećem:
[dispmath]\text{tg}^210^\circ+\text{tg}^2(-50^\circ)+\text{tg}^270^\circ[/dispmath] (U sledećem koraku će biti jasno zbog čega sam [inlmath]50^\circ[/inlmath] zamenio sa [inlmath]-50^\circ[/inlmath].)

Ako posmatramo tangense trostrukih vrednosti ovih uglova, možemo uočiti da su sva tri tangensa jednaka:
[dispmath]\text{tg }30^\circ=\text{tg }(-150^\circ)=\text{tg }210^\circ=\frac{\sqrt3}{3}[/dispmath] Na osnovu formule za tangens trostrukog ugla [inlmath]\text{tg }3\alpha=\frac{3\text{ tg }\alpha-\text{tg}^3\alpha}{1-3\text{ tg}^2\alpha}[/inlmath] (a koja se može dobiti adicionom formulom [inlmath]\text{tg }(2\alpha+\alpha)=\cdots[/inlmath]), sledi [inlmath]\text{tg}^3\alpha-3\text{ tg }3\alpha\text{ tg}^2\alpha-3\text{ tg }\alpha+\text{tg }3\alpha=0[/inlmath]. Dakle, u pitanju je kubna jednačina po [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath], što znači da će za neko fiksno [inlmath]\text{tg }3\alpha[/inlmath] postojati i tri rešenja po [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath]. Pošto nam je ovde [inlmath]\text{tg }3\alpha=\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath], a [inlmath]\text{tg }30^\circ[/inlmath], [inlmath]\text{tg }(-50^\circ)[/inlmath] i [inlmath]\text{tg }70^\circ[/inlmath] su svi međusobno različiti, sledi da su [inlmath]\text{tg }30^\circ[/inlmath], [inlmath]\text{tg }(-50^\circ)[/inlmath] i [inlmath]\text{tg }70^\circ[/inlmath] upravo tri različita rešenja kubne jednačine [inlmath]\text{tg}^3\alpha-\sqrt3\text{ tg}^2\alpha-3\text{ tg }\alpha+\frac{\sqrt3}{3}=0[/inlmath]. Radi lakšeg zapisa, možemo uvesti smenu [inlmath]\text{tg }\alpha=t[/inlmath], čime jednačina postaje
[dispmath]t^3-\sqrt3t^2-3t+\frac{\sqrt3}{3}=0[/dispmath] a izraz čiju vrednost određujemo je [inlmath]t_1^2+t_2^2+t_3^2[/inlmath], gde su [inlmath]t_1[/inlmath], [inlmath]t_2[/inlmath] i [inlmath]t_3[/inlmath] rešenja posmatrane kubne jednačine. Sad samo Vietove formule i dalje je lako...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 37 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 00:53 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs