od Daniel » Četvrtak, 16. Jun 2022, 00:05
Pre svega, možemo uočiti da je zadati izraz jednak sledećem:
[dispmath]\text{tg}^210^\circ+\text{tg}^2(-50^\circ)+\text{tg}^270^\circ[/dispmath] (U sledećem koraku će biti jasno zbog čega sam [inlmath]50^\circ[/inlmath] zamenio sa [inlmath]-50^\circ[/inlmath].)
Ako posmatramo tangense trostrukih vrednosti ovih uglova, možemo uočiti da su sva tri tangensa jednaka:
[dispmath]\text{tg }30^\circ=\text{tg }(-150^\circ)=\text{tg }210^\circ=\frac{\sqrt3}{3}[/dispmath] Na osnovu formule za tangens trostrukog ugla [inlmath]\text{tg }3\alpha=\frac{3\text{ tg }\alpha-\text{tg}^3\alpha}{1-3\text{ tg}^2\alpha}[/inlmath] (a koja se može dobiti adicionom formulom [inlmath]\text{tg }(2\alpha+\alpha)=\cdots[/inlmath]), sledi [inlmath]\text{tg}^3\alpha-3\text{ tg }3\alpha\text{ tg}^2\alpha-3\text{ tg }\alpha+\text{tg }3\alpha=0[/inlmath]. Dakle, u pitanju je kubna jednačina po [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath], što znači da će za neko fiksno [inlmath]\text{tg }3\alpha[/inlmath] postojati i tri rešenja po [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath]. Pošto nam je ovde [inlmath]\text{tg }3\alpha=\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath], a [inlmath]\text{tg }30^\circ[/inlmath], [inlmath]\text{tg }(-50^\circ)[/inlmath] i [inlmath]\text{tg }70^\circ[/inlmath] su svi međusobno različiti, sledi da su [inlmath]\text{tg }30^\circ[/inlmath], [inlmath]\text{tg }(-50^\circ)[/inlmath] i [inlmath]\text{tg }70^\circ[/inlmath] upravo tri različita rešenja kubne jednačine [inlmath]\text{tg}^3\alpha-\sqrt3\text{ tg}^2\alpha-3\text{ tg }\alpha+\frac{\sqrt3}{3}=0[/inlmath]. Radi lakšeg zapisa, možemo uvesti smenu [inlmath]\text{tg }\alpha=t[/inlmath], čime jednačina postaje
[dispmath]t^3-\sqrt3t^2-3t+\frac{\sqrt3}{3}=0[/dispmath] a izraz čiju vrednost određujemo je [inlmath]t_1^2+t_2^2+t_3^2[/inlmath], gde su [inlmath]t_1[/inlmath], [inlmath]t_2[/inlmath] i [inlmath]t_3[/inlmath] rešenja posmatrane kubne jednačine. Sad samo Vietove formule i dalje je lako...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain